Фейнмановские лекции по физике 4a

I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. III. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.

Рассмотрим сначала свойство П. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р₀ и плотностью r. Давление Р зависит от плотности среды: Р=f(r), и в частности равновесное давление Р₀=f(r₀). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар=10⁵н/м²). Давление в одну стандартную атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм=1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

I=20log₁₀(P/P_отн) дб, (47.1)

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Р_отн=2·10^-10 бар.

Звуковое давление Р=10³ Р_отн=2·10^-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление меняется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэтому, написав для звуковой волны

Р=Р₀+Р_u, r = r₀+r_u, (47.2)

можно считать, что изменение давления P_u очень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности r_u очень мало по сравнению с r₀. Тогда

P₀+Р_u=f(r₀+r_u)=f(r₀)+ r_uf'(r₀), (47.3)

где P₀ = f(r₀) и f'(r₀) — производная от f(r), взятая при значении r =r₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что r_u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_u пропорционально избыточной плотности r_u; коэффициент пропорциональности обозначается через к:

(II) Р_u=cr_u, где c=f'(r₀)=(dP/dr)₀. (47.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину c(х,t), так что его новое положение есть x+c(x,t), как показано на фиг. 47.3.

Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке х есть c (х,t), а в точке х+Dх равно c(x+Dx,t).

Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Dx, а окончательный объем равен Dx+c(x+Dx,t)-c(x,t).

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Dх, и его смещенное положение есть х+Dх+c(х+Dх,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Dx, есть r₀Dx, где r₀ — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+c (x,t) и x+Dх+c (х+Dх,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Dx до прихода волны. Если через r обозначить новую плотность, то