Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:
(2.59)
Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор СХС. Понимаете, почему?
§ 8. Подвохи
Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора y Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ш и j (фи):
Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на
(Аa)X(Аb),
а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одинаковых векторов АXА всегда нуль). Но в нашем примере два оператора С отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ш, а второй — на другую, j. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком у, они все же должны рассматриваться как разные операторы. Направление Сш зависит от функции ш, а направление Сj — от функции j, так что они не обязаны быть параллельными:
(Сш)X(Сj)№0 (в общем случае).
К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что СjXСш =0 в любом скалярном поле: здесь обе С действуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать x-компоненту выражения С2h, то сразу пишем
(2.60)
Ио это выражение не годится, если мы ищем радиальную компоненту С2h. Она не равна С2hr. Дело в том, что в алгебре векторов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их направления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векторное поле, например, в полярных координатах, то «радиальное» направление меняется от точки к точке. И начав дифференцировать компоненты, вы запросто можете попасть в беду. Даже в постоянном векторном поле радиальная компонента от точки к точке меняется.
Обычно безопаснее и проще всего держаться прямоугольных координат. Но стоит упомянуть и одно исключение: поскольку лапласиан С2 есть скаляр, то можно писать его в любой системе координат (скажем, в полярных координатах). Но так как это дифференциальный оператор, то применять его надо только к векторам с фиксированным направлением компонент, т. е. к заданным в прямоугольных координатах. Итак, расписывая наши векторные дифференциальные уравнения покомпонентно, мы будем предварительно выражать все наши векторные поля через их х-, у-, z-компоненты.
* В наших обозначениях выражение (а, b, с) представляет вектор с компонентами а, b, с. Если вам нравится пользоваться единичными векторами i, j и k, то можно написать
* Мы рассматриваем h как физическую величину, зависящую от положения в пространстве, а не как заданную математически функцию трех переменных. Когда h «дифференцируется» по х, у и z или по х', у' и z', то математическое выражение для h должно быть предварительно выражено в виде функции соответствующих переменных, Поэтому в новой системе координат мы не отмечаем h штрихом.
Глава 3
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ
§1.Векторные интегралы; криволинейный интеграл от ▽ш
§2.Поток векторного поля
§З. Поток из куба; теорема Гаусса
§4.Теплопроводность; уравнение диффузии
§5.Циркуляция векторного поля
§6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса
§7. Поля без роторов и поля без дивергенций
§8.Итоги
§ 1. Векторные интегралы;
криволинейный интеграл от Сш
В предыдущей главе мы видели, что брать производные от поля можно по-разному. Одни приводят к векторным полям; другие — к скалярным. Хотя формул было выведено довольно много, все их можно подытожить одним правилом: операторы д/дх, д/ду и д/dz суть три компоненты векторного оператора у. Сейчас нам хотелось бы лучше разобраться в значении производных поля. Тогда мы легче почувствуем смысл векторных уравнений поля.