Ну а как насчет плавных траекторий? Получим ли мы тот же ответ? Этот вопрос мы обсудили в вып. 1, гл. 13. Пользуясь теми же доводами, что и тогда, мы можем заключить, что работа переноса единичного заряда от а до b от пути не зависит:
Фиг. 4.4. Работа, затраченная на движение вдоль любого пути от а до b, равна минус работе от некоторой точки Р0 до а плюс работа от Р0 до b.
А раз выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом. Выберем отправную точку Р0 и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р0 . Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р0 до точки а, через j(а), а работу на участке от Р0 до точки b — через j(b) (фиг. 4.4). Работа перехода от а к Р0 (по дороге к b) равна j (a) с минусом, так что
(4.21)
Так как повсюду будет встречаться только разность значений функции j в двух точках, то положение точки Р0 в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число j тем самым определяется в любой точке пространства; значит, j является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потенциалом в произвольной точке.
Электростатический потенциал
(4.22)
Часто очень удобно брать отправную точку на бесконечности. Тогда потенциал jодиночного заряда в начале координат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]
(4.23)
Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от второго, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, потенциал j множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргументами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем получить окончательные формулы для потенциала j в точке, обозначенной как (1):
(4.24)
(4.25)
Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из некоторой отправной точки.
§4. E = -Сj
С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, действующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от х до х+Dх. Работа равна разности потенциалов в двух точках
Но работа против действия силы на том же отрезке равна
Мы видим, что
(4.26)
Равным образом, Еу=-дj/ду, Ez=-dj/dz; все это в обозначениях векторного анализа можно подытожить так:
4.27)