Пусть n0 будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии. Такой же должна быть и плотность положительных ионов, потому что в невозмущенном состоянии плазма нейтральна. Теперь допустим, что электроны каким-то образом выведены из равновесия. Что тогда получится? Если плотность электронов в какой-то области возросла, они начнут отталкиваться и стремиться вернуться в прежнее положение равновесия. Двигаясь к своим первоначальным положениям, они наберут кинетическую энергию и вместо того, чтобы замереть в равновесной конфигурации, проскочат мимо. Начнутся колебания. Нечто похожее наблюдается в звуковых волнах, но там возвращающей силой было давление газа. В плазме возвращающая сила — это действующее на электроны электрическое притяжение.
Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным движением электронов — скажем, в направлении x;. Предположим, что электроны, первоначально находившиеся в точке х, к моменту t сместились из положения равновесия на расстояние s (x, t). Раз они сместились, то плотность их, вообще говоря, изменилась. Это изменение подсчитать легко. Если посмотреть на фиг. 7.6, то видно, что электроны, вначале находившиеся между плоскостями а и b, сдвинулись и теперь находятся между плоскостями а' и b'. Количество электронов между а и b прежде было пропорционально n0Dх; теперь то же их количество находится в промежутке шириной Dx+Ds.
Фиг. 7.6. Движение волны в плазме.
Электроны от плоскости а сдвигаются к а', а от b —к b'.
Плотность
теперь стала
(7.16)
Если изменение плотности мало, то можно написать [заменяя с помощью биномиального разложения (1+e)-1 на (1-e)]
(7.17)
Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда больше), так что плотность их осталась прежней, n0. Заряд каждого электрона -qe , и средняя плотность заряда в любой точке равна
или
(7.18)
(здесь Ds/Dx записано через дифференциалы).
Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью зарядов электрическое поле. В частности,
(7.19)
Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического поля Е есть одна-единственная составляющая Ех. Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к
(7.20)
Интегрируя (7.20), получаем
(7.21)
Постоянная интегрирования К равна нулю, потому что Ех=0 при s=0.
Сила, действующая на смещенный электрон, равна
(7.22)
т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению s электрона. Это приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеет вид
(7.23)
Отсюда следует, что s меняется по гармоническому закону. Во времени s меняется как cos wt или, если использовать экспоненту (см. вып. 3), как
(7.24)
Частота колебаний wр определяется из (7.23):
(7.25)
Это число, характеризующее плазму, называют собственной частотой колебаний плазмы, или плазменной частотой.
Оперируя с электронами, многие предпочитают получать ответы в единицах e2, определяемых как
(7.26)
При этом условии (7.25) превращается в
(7.27)
В таком виде эту формулу можно встретить во многих книгах.
Итак, мы обнаружили, что возмущения плазмы приводят к свободным колебаниям электронов вблизи положения равновесия с собственной частотой wр, пропорциональной корню квадратному из плотности электронов. Плазменные электроны ведут себя как резонансная система, подобная описанным в вып. 2, гл. 23.
Этот собственный резонанс плазмы приводит к интересным эффектам. Например, при прохождении радиоволн сквозь ионосферу обнаруживается, что они могут пройти только в том случае, если их частота выше плазменной частоты. А иначе они отражаются обратно. Для связи с искусственным спутником мы используем высокие частоты. Если же мы хотим связаться с радиостанцией, расположенной где-то за горизонтом, то необходимы частоты меньшие, чем плазменная частота, иначе сигнал не отразится обратно к Земле.