Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.
Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида
(7.41)
где а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что никаких изменений по у не заметно.) Полное решение должно состоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.
Испытывая этим уравнением функцию j из (7.41), мы получаем
(7.42)
т.е. Fn(z) должно удовлетворять условию
(7.43)
Итак, должно быть
(7.44)
(7.45)
Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гармоники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z0=a/2pn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е2p раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля
j0=-E0z.
которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с Fn из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом Аn . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов К на проволочках сетки.
Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.
* О новых работах по этому вопросу и библиографию см. в статье С. J.Powell, J.B. Swann, Phys. Rev., 115, 869 (1959).
Глава 8
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
§1 .Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
§З.Электростатическая энергия ионного кристалла
§4.Электростатическая энергия ядра
§5,Энергия в электростатическом поле
§6.Энергия точечного заряда
Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»
§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
Одно из самых интересных и полезных открытий в механике —это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.
Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q1 и q2, разделенные промежутком r12. У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна