(12.7)
Если свойства материала меняются от точки к точке, то К=К (х, у, z) и есть функция положения. [Уравнение (12.7) не столь фундаментально, как (12.5), выражающее сохранение тепловой энергии, потому что оно зависит от характерных свойств вещества.] Подставляя теперь уравнение (12.7) в (12.6), получаем
(12.8)
что в точности совпадает по форме с (12.4). Задачи с постоянным потоком тепла и задачи электростатики одинаковы. Вектор потока тепла h соответствует Е, а температура Т соответствует j.
Фиг. 12.1. Поток тепла в случае цилиндрической симметрии (а) и соответствующая задача из электричества (б).
Мы уже отмечали, что точечный тепловой источник создает поле температур, меняющееся, как 1/r, и поток тепла, меняющийся, как 1/r2. Это есть не более чем простой перенос утверждений электростатики, что точечный заряд дает потенциал, меняющийся, как 1/r, и электрическое поле, меняющееся, как 1/r2. Вообще мы можем решать статистические тепловые задачи с той же степенью легкости, как и задачи электростатики.
Рассмотрим простой пример. Пусть имеется цилиндр с радиусом а при температуре T1? поддерживающейся за счет генерации тепла в цилиндре. (Это может быть, скажем, проволока, по которой течет ток, или трубка с конденсацией пара внутри цилиндра.) Цилиндр покрыт концентрической обшивкой из изолирующего материала с теплопроводностью К. Пусть внешний радиус изоляции равен b, а в наружном пространстве поддерживается температура T2 (фиг. 12. 1, а). Нам нужно определить скорость потери тепла проволокой или паропроводом (все равно чем), проходящим по центру цилиндра. Пусть полное количество тепла, теряемого на длине трубы L, равно G, его-то мы и хотим найти.
Как надо решать такую задачу? У нас есть дифференциальные уравнения, но поскольку они такие же, как в электростатике, то математическое решение их нам уже известно. Аналогичная задача электростатики относится к проводнику радиусом а при потенциале j1, отделенном от другого проводника радиусом b при потенциале j2, с концентрическим слоем диэлектрика между ними (фиг. 12.1, б). Далее, поскольку поток тепла h соответствует электрическому полю Е, то наша искомая величина G соответствует потоку электрического поля от единичной длины (другими словами, электрическому заряду на единице длины, деленному на e0). Мы решали электростатическую задачу с помощью закона Гаусса. Нашу задачу о потоке тепла будем решать таким же способом.
Из симметрии задачи мы видим, что h зависит только от расстояния до центра. Поэтому мы окружим трубку гауссовой поверхностью — цилиндром длиной L и радиусом r. С помощью закона Гаусса мы выводим, что поток тепла h, умноженный на площадь поверхности 2prL, должен быть равен полному количеству тепла, рождаемому внутри, т. е. тому, что мы назвали G:
(12.9)
Поток тепла пропорционален градиенту температуры
или в данном случае величина h равна
Вместе с (12.9) это дает
(12.10)
Интегрируя от r=а до r=b, получаем
(12.11)
Разрешая отнсительно G, находим
(12.12)
Этот результат в точности соответствует формуле для заряда цилиндрического конденсатора:
Задачи одинаковые и имеют одинаковые решения. Зная электростатику, мы тем самым знаем, сколько тепла теряет изолированная труба.
Рассмотрим еще один пример. Пусть мы хотим узнать поток тепла в окрестности точечного источника, расположенного неглубоко под поверхностью земли или же вблизи поверхности большого металлического предмета. В качестве локализованного источника тепла может быть и атомная бомба, которая взорвалась под землей и представляет собой мощный источник тепла, или же небольшой источник радиоактивности внутри железного блока — возможностей очень много.
Рассмотрим идеализированную задачу о точечном источнике тепла, мощность которого G, на расстоянии а под поверхностью бесконечной однородной среды с коэффициентом теплопроводности К. Теплопроводностью воздуха над поверхностью среды мы пренебрежем. Мы хотим определить распределение температуры на поверхности среды. Насколько горячо будет прямо над источником и в разных местах на поверхности?