§ 3. Натянутая мембрана
Рассмотрим теперь совсем другую область физики, в которой тем не менее мы придем снова к точно таким же уравнениям. Возьмем тонкую резиновую пленку — мембрану, натянутую на большую горизонтальную раму (наподобие кожи на барабане). Нажмем на мембрану в одном месте вверх, а в другом — вниз (фиг. 12.3). Сможем ли мы описать форму поверхности? Покажем, как можно решить эту задачу, когда отклонения мембраны не очень велики.
В пленке действуют силы, потому что она натянута. Если сделать в каком-нибудь месте пленки небольшой разрез, то два края разреза разойдутся (фиг. 12.4). Следовательно, в пленке имеется поверхностное натяжение, аналогичное одномерному натяжению растянутой веревки. Определим величину поверхностного натяжения t как силу на единицу длины, которая как раз удержала бы вместе две стороны разреза (см. фиг. 12.4).
Предположим теперь, что мы смотрим на вертикальное поперечное сечение мембраны. Оно будет иметь вид некоторой кривой, похожей на изображенную на фиг. 12.5. Пусть и — вертикальное смещение мембраны от ее нормального положения, а х и у — координаты в горизонтальной плоскости
Фиг. 12.3. Тонкая резиновая пленка, натянутая на цилиндр (нечто вроде барабана).
Какой формы будет поверхность, если пленку приподнять в точке A и опустить в точке В?
Фиг. 12.4. Поверхностное натяжение t натянутой, резиновой пленки есть сила отнесенная к единице длины и направленная перпендикулярно линии разреза.
(Приведенное сечение параллельно оси х.)
Возьмем небольшой кусочек поверхности длиной Dx; и шириной Dу. На него действуют силы вследствие поверхностного натяжения вдоль каждого края. Сила на стороне 1 (см. фиг. 12.5) будет равна t1Dy и направлена по касательной к поверхности, т. е. под углом q1 к горизонтали. Вдоль стороны 2 сила будет равна t2Dy и направлена к поверхности под углом q2. (Подобные силы будут и на двух других сторонах кусочка, но мы пока забудем о них.) Результирующая сила от сторон 1 и 2, действующая на кусочек вверх, равна
Мы ограничимся рассмотрением малых искажений мембраны, т. е. малых изгибов и наклонов: тогда мы сможем заменить sinq на tgq и записать как дu/дx. Сила при этих условиях дается выражением
Величина в скобках может быть с тем же успехом записана (для малых Dx:) как
Фиг. 12.5. Поперечное сечение изогнутой пленки.
Тогда
Имеется и другой вклад в DF от сил на двух других сторонах; полный вклад, очевидно, равен
(12.16)
Искривления диафрагмы вызваны внешними силами. Пусть / означает направленную вверх силу на единичную площадку пленки (своего рода «давление»), возникающую от внешних сил. Если мембрана находится в равновесии (статический случай), то сила эта должна уравновешиваться только что вычисленной внутренней силой [уравнение (12.16)]. Иначе говоря,
Уравнение (12.16) тогда может быть записано в виде
(12.17)
где под знаком С мы теперь подразумеваем, конечно, двухмерный оператор градиента (д/дх, д/ду). У нас есть дифференциальное уравнение, связывающее u(х, у) с приложенными силами f(x, у) и поверхностным натяжением пленки t(x, у), которое, вообще говоря, может меняться от места к месту. (Деформации трехмерного упругого тела тоже подчиняются таким уравнениям, но мы ограничимся двухмерным случаем.) Нас будет интересовать только случай, когда натяжение t постоянно по всей пленке. Тогда вместо (12.17) мы можем записать
(12.18)
Снова мы получили такое же уравнение, как в электростатике! Но на сей раз оно относится к двум измерениям. Смещение u соответствует j, а f/t соответствует r/e0. Поэтому тот труд, который мы потратили на бесконечные заряженные плоскости, или параллельные провода большой длины, или заряженные цилиндры, пригодится для натянутой мембраны.