Объем параллелепипеда есть произведение проекции Dа, перпендикулярной к v, на vDt, а умножая его на плотность зарядов r, получаем Dq. Таким образом,
Dq = rv·nDaDt.
Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен рv·nDа, откуда получаем
j = pv. (13.3)
Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q, движущихся со средней скоростью v, то плотность тока равна
j = Nqv, (13.4)
где N — число зарядов в единице объема.
Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим током I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):
Фиг. 13.3. Ток I через поверхность S равен ∫j·nda
Фиг. 13.4. Интеграл от j·n no замкнутой поверхности равен скорости изменения полного заряда Q внутри.
Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой скорость, с которой заряды покидают объем V, окруженный поверхностью 5. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы говорим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4). Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:
(13.6)
Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плотности заряда
(13.7)
Применяя (13.6) к малому объему DV, можно учесть, что интеграл слева есть С·jDV. Заряд внутри равен rDV, поэтому сохранение заряда можно еще записать и так:
(13.8)
(опять теорема Гаусса из математики!).
§ 3. Магнитная сила, действующая на ток
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы определить силу, действующую на находящуюся в магнитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, движущихся по проволоке со скоростью v. Каждый заряд чувствует поперечную силу F = qvXB (фиг. 13.5, а).
Фиг. 13.5. Магнитная сила на проволоку с током равна сумме сил на отдельные движущиеся заряды
Если в единичном объеме таких зарядов имеется N, то их число в малом объеме внутри проволоки DV равно NDV. Полная магнитная сила DV, действующая на объем DV, есть. сумма сил на отдельные заряды
Ho Nqv ведь как раз равно j, так что
(13.9)
(фиг. 13.5, б). Сила, действующая на единицу объема, равна JXB.
Если по проволоке с поперечным сечением А равномерно по сечению течет ток, то можно в качестве элемента объема взять цилиндр с основанием А и длиной DL. Тогда
DF = jXBDL. (13.10)
Теперь можно jA назвать вектором тока I в проволоке. (Его величина есть электрический ток в проволоке, а его направление совпадает с направлением проволоки.) Тогда
DF=IXBDL. (13.11)
Сила, действующая на единицу длины проволоки, есть IXB.
Это уравнение содержит важный результат — магнитная
сила, действующая на проволоку и возникающая от движения в ней зарядов, зависит только от полного тока, а не от величины заряда, переносимого каждой частицей (и даже не зависит от его знака!). Магнитная сила, действующая на проволоку вблизи магнита, легко обнаруживается по отклонению проволоки при включении тока, как было нами описано в гл. 1 (см. фиг. 1.6, стр. 20).