Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А', будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле В. Значит, А и А' имеют одинаковый ротор
Поэтому
Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем y, так что А'-A=Сy. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом y
(14.5)
также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.
Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал ср равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А' и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, С·A' = С·A+С2y, и, подбирая соответствующее y, можно придать С·A' любое значение.
Чему следует приравнять С·А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор
С·A = 0. (14.6)
(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть СXA=B и С·А=0.
Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В0. Выбирая ось z в направлении В0, мы должны иметь
(14.7)
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть
Или с тем же успехом можно взять
Еще одно решение есть комбинация первых двух
Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей.
Фиг. 14.1. Однородное магнитное поле В, направленное по оси z, соответствует векторному потенциалу А (А=Вr'/2), который вращается вокруг оси z. т' — расстояние до оси z.
Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку x-компонента пропорциональна -y, а y-компонента пропорциональна -+x, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, который мы обозначим r' (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна Ц(x2+y2) и, следовательно, пропорциональна r'. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто
(14.9)
Векторный потенциал А равен по величине Br' /2, и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.
Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от СXА с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]
(14.10)
Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому
(14.11)
Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r' в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен
Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией только от r', то циркуляция будет равна