Для точек вне бесконечного заряженного цилиндра электростатический потенциал равен
где r'=Ц(x2+y2), a l, — заряд на единицу длины pа2r. Следовательно, Аг должно быть равно
для точек вне длинного провода с равномерно распределенным током. Поскольку pа2jz=I то можно также написать
(14.21)
Теперь можно найти В, пользуясь (14.4). Из шести производных от нуля отличны только две. Получаем
(14.22)
,(14.23)
Мы получаем тот же результат, что и раньше: В обходит провод по окружности и по величине равен
(14.24).
§ 4. Длинный соленоид
Еще пример. Рассмотрим опять бесконечно длинный соленоид с током по окружности, равным пI на единицу длины. (Мы считаем, что имеется n витков проволоки на единицу длины, несущих каждый ток I, и пренебрегаем небольшими зазорами между витками.)
Точно так же, как мы выводили «поверхностную плотность заряда» а, определим здесь «поверхностную плотность тока» J, равную току на единице длины по поверхности соленоида (что, конечно, есть просто среднее j, умноженное на толщину тонкой намотки). Величина J здесь равна nI. Этот поверхностный ток (фиг. 14.4) имеет компоненты
Мы должны теперь найти А для такого распределения токов. Прежде всего найдем Ах в точках вне соленоида. Результат такой же, как электростатический потенциал вне цилиндра с поверхностным зарядом:
Фиг. 14.4. Длинный соленоид с поверхностной плотностью тока J.
где s0=-,//c2. Мы не решали случай такого распределения заряда, но делали нечто похожее. Это распределение заряда эквивалентно двум жестким цилиндрам, состоящим из зарядов, один из положительных, другой из отрицательных, с малым относительным смещением их осей в направлении у. Потенциал такой пары цилиндров пропорционален производной по у от потенциала одного однородно заряженного цилиндра. Мы, конечно, можем вычислить константу пропорциональности, но пока не будем возиться с этим.
Потенциал заряженного цилиндра пропорционален lnr'; потенциал пары тогда равен
Итак, мы знаем, что
(14.25)
где К — некоторая константа. Рассуждая точно так же, найдем
(14.26)
Хотя мы раньше говорили, что вне соленоида магнитного поля нет, теперь мы находим, что поле А существует и циркулирует вокруг оси z (см. фиг. 14.4). Возникает вопрос: равен ли нулю его ротор?
Очевидно, Вх и Вy равны нулю, а
Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен.
Мы можем проверить наш результат, прибегнув к другим соображениям. Циркуляция векторного потенциала вокруг соленоида должна равняться потоку В внутри катушки [уравнение (14.11)]. Циркуляция равна А·2pr' или, поскольку А=К1r', она равна 2pК. Заметьте, что циркуляция не зависит от r'. Так и должно быть, если В вне соленоида отсутствует, потому что поток есть просто величина В внутри соленоида, умноженная на pа2. Он один и тот же для всех окружностей с радиусом r'>а. Раньше мы нашли, что поле внутри равно n//e0c2, поэтому мы можем определить константу К:
или
Итак, векторный потенциал снаружи имеет величину
(14.27)
и всегда перпендикулярен вектору r'.
Мы говорили о соленоидальной катушке из проволоки, но такое же поле мы могли бы создать, вращая длинный цилиндр с электростатическим зарядом на поверхности. Если у нас есть тонкий цилиндрический слой радиуса а с поверхностным зарядом s, то вращение цилиндра образует поверхностный ток J=sv, где v=sw — скорость поверхностного заряда. Внутри цилиндра тогда будет магнитное поле B=saw/e0с2.