Выбрать главу

Напряжение между пластинами есть интеграл от электри­ческого поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению Е и расстояния между пластинами d. Мы по­лучаем

Полный заряд конденсатора есть sсвоб А, так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной

(10.10)

Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель

(10.11)

который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.

Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Р не всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в ма­ленький элемент объема может войти больше зарядов, чем вый­дет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объеме?

Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через вооб­ражаемую плоскость, когда материал поляризуется. Коли­чество заряда, проходящее через поверхность, есть просто Р, умноженное на площадь поверхности, если поляризация направлена по нормали к поверхности. Разумеется, если поля­ризация касательна, к поверхности, то через нее не пройдет ни одного заряда.

Продолжая прежние рассуждения, легко понять, что коли­чество заряда, прошедшее через любой элемент поверхности, пропорционально компоненте Р, перпендикулярной к поверх­ности. Сравним фиг. 10.6 и 10.5. Мы видим, что уравнение (10.5) в общем случае должно быть записано так:

(10.12)

Фиг. 10.7. Неоднородная поляризация Р может приво­дить к появлению результиру­ющего заряда внутри диэлек­трика.

Если мы имеем в виду воображаемый элемент поверхности внутри диэлектрика, то формула (10.12) дает заряд, который прошел через поверхность, но не приводит к результирующему поверхностному заряду, потому что возникают равные и про­тивоположно направленные вклады от диэлектрика по обе стороны поверхности.

Однако смещение зарядов может привести к появлению объемной плотности зарядов. Полный заряд, выдвинутый из объема V за счет поляризации, есть интеграл от внешней нор­мальной составляющей Р по поверхности S, охватывающей объем (фиг. 10.7). Такой же излишек зарядов противоположного знака остается внутри. Обозначая суммарный заряд внутри F через DQпол, запишем

(10.13)

Мы можем отнести DQпол за счет объемного распределения заряда с плотностью rпол, так что

(10.14)

Комбинируя оба уравнения, получаем

(10.15)

Мы получили разновидность теоремы Гаусса, связывающую плотность заряда поляризованного материала с вектором поля­ризации Р. Мы видим, что она согласуется с результатом, полученным для поверхностного поляризационного заряда или же для диэлектрика в плоском конденсаторе. Уравнение (10.15) с гауссовой поверхностью S, изображенной на фиг. 10.1, дает в правой части интеграл по поверхности, равный РDA, а в левой части заряд внутри объема оказывается sпол DA, так что мы снова получаем s=Р.

Точно так же, как мы делали в случае закона Гаусса для электростатики, мы можем перейти в уравнении (10.15) к диф­ференциальной форме, пользуясь математической теоремой Гаусса:

Мы получаем

(10.16)

Если поляризация неоднородна, ее дивергенция определяет появляющуюся в материале результирующую плотность заря­дов. Подчеркнем, что это совсем настоящая плотность зарядов; мы называем ее «поляризационным зарядом», только чтобы помнить, откуда она взялась.

§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков

Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы уже узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вид

(10.17)

где r — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить r на две части. Обозначим снова через rпол заряды, появляющиеся за счет неоднородной поляризации, а остальную часть назовем rсвоб. Обычно rсвоб означает заряд, сообщаемый проводникам или распределенный известным образом в про­странстве. В этом случае уравнение (10.17) приобретает вид