И вот как все это срабатывает. Пусть для всех путей действие S будет весьма большим по сравнению с числом h. Пусть какой-то путь привел к некоторой величине амплитуды. Фаза рядом проложенного пути окажется совершенно другой, потому что при огромном S даже незначительные изменения S резко меняют фазу (ведь hчрезвычайно мало). Значит, рядом лежащие пути при сложении обычно гасят свои вклады. И только в одной области это не так — в той, где и путь и его сосед— оба в первом приближении обладают одной и той же фазой (или, точнее, почти одним и тем же действием, меняющимся в пределах h). Только такие пути и принимаются в расчет. А в предельном случае, когда постоянная Планка hстремится к нулю, правильные квантовомеханические законы можно подытожить, сказав: «Забудьте обо всех этих амплитудах вероятностей. Частица и впрямь движется по особому пути — именно по тому, по которому S в первом приближении не меняется». Такова связь между принципом наименьшего действия и квантовой механикой. То обстоятельство, что таким способом можно сформулировать квантовую механику, было открыто в 1942 г. учеником того же самого учителя, мистера Бадера, о котором я вам рассказывал. [Первоначально квантовая механика была сформулирована при помощи дифференциального уравнения для амплитуды (Шредингер), а также при помощи некоторой матричной математики (Гейзенберг).]
Теперь я хочу потолковать о других принципах минимума в физике. Есть очень много интересных принципов такого рода. Я не буду их все перечислять, а назову еще только один. Позже, когда мы доберемся до одного физического явления, для которого существует превосходный принцип минимума, я расскажу вам о нем. А сейчас я хочу показать, что необязательно описывать электростатику при помощи дифференциального уравнения для поля; можно вместо этого потребовать, чтобы некоторый интеграл обладал максимумом или минимумом. Для начала возьмем случай, когда плотность зарядов известна повсюду, а нужно найти потенциал j в любой точке пространства. Вы уже знаете, что ответ должен быть такой:
Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл U*
это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выражение достигает минимума.
Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в качестве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем
здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:
Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид
изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл
Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно
Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегрируем по х по частям. Это приведет к добавочному дифференцированию j по х. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством
Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл U*
это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выражение достигает минимума.
Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в качестве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем
здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:
Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид
изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл
Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно
Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегрируем по xпо частям. Это приведет к добавочному дифференцированию j по x. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством
Проинтегрированный член равен нулю, так как мы считаем f равным нулю на бесконечности. (Это отвечает обращению h в нуль при t1и t2. Так что наш принцип более точно формулируется следующим образом: U* для правильного j меньше, чем для любого другого
j(х, у, z), обладающего теми же значениями на бесконечности.) Затем мы проделаем то же с у и с z. Наш интеграл DU* обратится в