Чтобы эта вариация была равна нулю при любом произвольном f, коэффициент при f должен быть равен нулю. Значит,
Мы вернулись к нашему старому уравнению. Значит, наше «минимальное» предложение верно. Его можно обобщить, если слегка изменить выкладки. Вернемся назад и проинтегрируем по частям, не расписывая все покомпонентно. Начнем с того, что напишем следующее равенство:
Продифференцировав левую часть, я могу показать, что она в точности равна правой. Это уравнение подходит для того, чтобы провести интегрирование но частям. В нашем интеграле DU* мы заменяем Сj·Сf на —fС2j+С·(fС j) и затем интегрируем это по объему. Член с дивергенцией после интегрирования по объему заменяется интегралом по поверхности:
А поскольку мы интегрируем по всему пространству, то поверхность в этом интеграле лежит на бесконечности. Значит, f=0, и мы получаем прежний результат.
Только теперь мы начинаем понимать, как решать задачи, в которых мы не знаем, где расположены все заряды. Пусть мы имеем проводники, на которых как-то распределены заряды. Если потенциалы на всех проводниках зафиксированы, то наш принцип минимума все еще разрешается применять. Интегрирование в U* мы проведем только по области, лежащей снаружи всех проводников. Но раз мы не можем на проводниках менять j, то на их поверхности f=0, и поверхностный интеграл
тоже равен нулю. Остающееся объемное интегрирование нужно проделывать только в промежутках между проводниками.
И мы, конечно, снова получаем уравнение Пуассона
Мы, стало быть, показали, что наш первоначальный интеграл U* достигает минимума и тогда, когда он вычисляется в пространстве между проводниками, каждый из которых находится при фиксированном потенциале [это значит, что каждая пробная функция j(х, у, z) должна равняться заданному потенциалу проводника, когда (х, у, z) — точки поверхности проводника]. Существует интересный частный случай, когда заряды расположены только на проводниках. Тогда
и наш принцип минимума говорит нам, что в случае, когда у каждого проводника есть свой заранее заданный потенциал, потенциалы в промежутках между ними пригоняются так, что интеграл U* оказывается как можно меньше. А что это за интеграл? Член Сj — это электрическое поле. Значит, интеграл — это электростатическая энергия. Правильное поле и есть то единственное, которое из всех полей, получаемых как градиент потенциала, отличается наименьшей полной энергией.
Я хотел бы воспользоваться этим результатом, чтобы решить какую-нибудь частную задачу и показать вам, что все эти вещи имеют реальное практическое значение. Предположим, что я взял два проводника в форме цилиндрического конденсатора.
У внутреннего проводника потенциал равен, скажем, V, а у внешнего— нулю. Пусть радиус внутреннего проводника будет равен а, а внешнего — b. Теперь мы можем предположить, что распределение потенциалов между ними — любое.
Но если мы возьмем правильное значение j и вычислим
, то должна получиться энергия системы 1/2CV2.
Так что с помощью нашего принципа можно подсчитать и емкость С. Если же мы возьмем неправильное распределение потенциала и попытаемся этим методом прикинуть емкость конденсатора, то придем к чересчур большому значению емкости при фиксированном V. Любой предполагаемый потенциал j, не точно совпадающий с истинным его значением, приведет и к неверной величине С, большей, чем нужно. Но если неверно выбранный потенциал j является еще грубым приближением, то емкость С получится уже с хорошей точностью, потому что погрешность в С — величина второго порядка по сравнению с погрешностью в j.
Предположим, что мне неизвестна емкость цилиндрического конденсатора. Тогда, чтобы узнать ее, я могу воспользоваться этим принципом. Я просто буду испытывать в качестве потенциала разные функции j до тех пор, пока не добьюсь наинизшего значения С. Допустим, к примеру, что я выбрал потенциал, отвечающий постоянному полю. (Вы, конечно, знаете, что на самом деле поле здесь не постоянно; оно меняется как 1/r.) Если поле постоянно, то это означает, что потенциал линейно зависит от расстояния. Чтобы напряжение на проводниках было каким нужно, функция j должна иметь вид
Эта функция равна V при r=а, нулю при r=b, а между ними имеется постоянный наклон, равный —V/(b-а). Значит, чтобы определить интеграл U*, надо только помножить квадрат этого градиента на e0/2 и проинтегрировать по всему объему. Проведем этот расчет для цилиндра единичной длины. Элемент объема при радиусе r равен 2prdr. Проводя интегрирование, я нахожу, что моя первая проба дает такую емкость:
Интеграл здесь просто равен
Так я получаю формулу для емкости, которая хотя и неправильна, но является каким-то приближением:
Конечно, она отличается от правильного ответа C=2pe0/ln(b/a), но в общем-то, она не так уж плоха. Давайте попробуем сравнить ее с правильным ответом для нескольких значений b/а. Вычисленные мною числа приведены в следующей таблице
Даже когда b/a=2 (а это приводит уже к довольно большим отличиям между постоянным и линейным полем), я все еще получаю довольно сносное приближение. Ответ, конечно, как и ожидалось, чуть завышен. Но если тонкую проволочку поместить внутри большого цилиндра, то все выглядит уже гораздо хуже. Тогда поле изменяется очень сильно и замена его постоянным полем ни к чему хорошему не приводит. При b/а=100мы завышаем ответ почти вдвое. Для малых b/а положение выглядит намного лучше. В противоположном пределе, когда промежуток между проводниками не очень широк (скажем, при b/а=1,1), постоянное поле оказывается весьма хорошим приближением, оно дает значение С с точностью до десятых процента.
А теперь я расскажу вам, как усовершенствовать этот расчет. (Ответ для цилиндра вам, разумеется, известен, но тот же способ годится и для некоторых других необычных форм конденсаторов, для которых правильный ответ вам может быть и не известен.) Следующим шагом будет подыскание лучшего приближения для неизвестного нам истинного потенциала j. Скажем, можно испытать константу плюс экспоненту j и т. д. Но как вы узнаете, что у вас получилось лучшее приближение, если вы не знаете истинного j? Ответ: Подсчитайте С; чем оно ниже, тем к истине ближе. Давайте проверим эту идею. Пусть потенциал будет не линейным, а, скажем, квадратичным по r, а электрическое поле не постоянным, а линейным. Самая общая квадратичная
форма, которая обращается в j =0 при r=b и в j =V при r=а, такова: