Нужно упомянуть еще об одном важном факте. В нашем решении для расходящейся волны (20.35) функция ш в начале координат бесконечна. Это как-то необычно. Мы бы предпочли иметь такие волновые решения, которые гладки повсюду. Наше решение физически относится к такой ситуации, когда в начале координат располагается источник. Значит, мы нечаянно сделали одну ошибку: наша формула (20.35) не является решением свободного волнового уравнения (20.33) повсюду; уравнение (20.33) с нулем в правой части решено повсюду, кроме начала координат. Ошибка вкралась оттого, что некоторые действия при выводе уравнения при r=0 «незаконны».
Покажем, что ту же самую ошибку легко сделать и в электростатике. Допустим, что нам нужно решить уравнение электростатического потенциала в пустом пространстве С2j=0. Лапласиан равен нулю, потому что мы предположили, что никаких зарядов нигде нет. Но как обстоит дело со сферически симметричным решением уравнения, т. е. с функцией j, зависящей только от r? Используя для лапласиана формулу (20.32), получаем
Умножив это выражение на r, приходим к уже интегрировавшемуся уравнению
Проинтегрировав один раз по r, мы увидим, что первая производная rj равна постоянной, которую мы обозначим через а;
Еще раз проинтегрировав, мы получим для rj формулу
где b — другая постоянная интегрирования. Итак, мы обнаружили, что решение для электростатического потенциала в пустом пространстве имеет вид
Что-то здесь явно не так. Мы же знаем решение для электростатического потенциала в области, где нет электрических зарядов: потенциал всюду постоянен. Это соответствует первому слагаемому в решении. Но имеется еще и второй член, подсказывающий нам, что в потенциал дает вклад нечто, меняющееся как 1/r. Мы знаем, однако, что подобный потенциал соответствует точечному заряду в начале координат. Стало быть, хоть мы и думали, что нашли решение для потенциала в пустом пространстве, наше решение фактически дает нам также поле точечного источника в начале координат. Вы замечаете сходство между тем, что сейчас произошло, и тем, что произошло тогда, когда мы искали сферически симметричное решение волнового уравнения? Если бы в начале координат действительно не было ни зарядов, ни токов, то не возникли бы и сферически расходящиеся волны. Сферические волны должны вызываться источниками в начале координат. В следующей главе мы исследуем связь между излучаемыми электромагнитными волнами и вызывающими их токами и напряжениями.
Глава 21
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА С ТОКАМИ И ЗАРЯДАМИ
§ 1. Свет и электромагнитные волны
§ 2. Сферические волны от точечного источника
§ 3. Общее решение уравнений Максвелла
§ 4. Поля колеблющегося диполя
§ 5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта
§ 6. Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью;
формула Лоренца
Повторить: гл. 28 (вып. 3) «Электромагнитное излучение»; гл. 31 (вып. 3)
«Как возникает показатель преломления»; гл. 34 (вып. 3)
«Релятивистские явления в излучении»
§ 1. Свет и электромагнитные волны
В предыдущей главе мы видели, что среди решений уравнений Максвелла есть электромагнитные волны. Свету, радио, рентгеновским лучам и т. д. отвечают электромагнитные волны отличающиеся только длиной волны. Мы уже подробно изучали различные явления, связанные со светом. В этой главе мы хотим связать оба вопроса и показать, что уравнения Максвелла действительно могли служить основой для изучения свойств света.
Наше изучение света мы начали с того, что выписали уравнение для электрического поля, создаваемого зарядом, который мог как-то произвольно двигаться. Уравнение имело вид
[см. гл. 28 (вып. 3), выражение (28.3)].
Если заряд движется произвольным образом, то электрическое поле, которое существует в некоторой точке, в настоящий момент зависит только от положения и движения заряда в более ранний момент времени, отстающий на интервал, необходимый для того, чтобы свет, двигаясь со скоростью с, прошел расстояние r' от заряда до точки поля. Иными словами, если вам нужно знать электрическое поле в точке (1) в момент t, вы должны подсчитать положение (2') заряда и его движение в момент (t-r'1с} [где r' — расстояние до точки (1)] из положения заряда (2') в момент (t—r/с).
Фиг. 21.1. Поля в точке (1) в момент t зависят от того положения (2'), которое заряд q занимал в момент (t — r'/с).
Штрихи здесь напоминают вам, что r' — это так называемое «запаздывающее расстояние» от точки (2') к точке (1), а вовсе не теперешнее расстояние между точкой (2) — положением заряда в момент t — и точкой поля (1) (фиг. 21.1). Заметьте, что сейчас по-иному определяется направление единичного вектора еr. В гл. 28 и 34 (вып. 3) мы уславливались, что r (и, стало быть, еr) будет показывать на источник. Теперь же мы следуем определению, используемому в формулировке закона Кулона, по которому r направлено от заряда [в точке (2)] к точке (1) поля. Единственное отличие в том, что новое r (и еr) противоположно старому.
Мы видели также, что если скорость заряда v всегда много меньше с и если рассматриваются только точки, сильно удаленные от заряда, так что в (21.1) существенно лишь последнее слагаемое, то поля можно также записать в виде
и
Рассмотрим более детально, что дает полное уравнение (21.1). Вектор еr — это единичный вектор, направленный от «запаздывающей» точки (2') к точке (1). Тогда первое слагаемое дает то, чего следовало бы ожидать, если бы заряд в своем «запаздывающем» положении создавал кулоново поле,— это можно назвать «запаздывающим кулоновым полем». Электрическое поле обратно пропорционально квадрату расстояния и направлено от «запаздывающего» положения заряда (т. е. по вектору еr').
Но это только первое слагаемое. Остальные напоминают нам, что законы электричества не утверждают, что все поля, оставаясь, как и были, статическими, начинают просто запаздывать (а такое утверждение порой приходится слышать). К «запаздывающему кулонову полю» надо добавить два других слагаемых.
Второе говорит, что к запаздывающему кулонову полю надо сделать «поправку», равную быстроте изменения запаздывающего кулонова поля, умноженной на r'/с, т. е. на само запаздывание. Этот множитель как бы стремится скомпенсировать запаздывание в первом. Два первых слагаемых соответствуют вычислению «запаздывающего кулонова поля» и затем экстраполяции его в будущее, на время r'/с, т. е. как раз к моменту t! Экстраполяция линейна, как если бы мы предположили, что «запаздывающее кулоново поле» будет по-прежнему изменяться со скоростью, рассчитанной для заряда в точке (2'). Если поле меняется медленно, эффект запаздывания почти полностью сводится на нет поправочным слагаемым, и оба слагаемых вместе приводят к величине электрического поля, очень близкой к «мгновенному кулонову полю» заряда, находящегося в точке (2).