(21.21)
что убывает как 1/r2, т. е. как поле статического диполя (потому что в данном направлении у/r постоянно).
Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту. Если провести в нем дифференцирование, то получится
(21.22)
где р” — просто вторая производная р по t. Вот это-то получающееся от дифференцирования числителя слагаемое и ответственно за излучение. Во-первых, оно описывает поле, убывающее на расстоянии как i/r, во-вторых, зависит от ускорения заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся получить формулу типа (21.1'), описывающую световое излучение.
Явление это настолько интересно и важно, что стоит немного подробнее разобраться в том, откуда берется это «радиационное» слагаемое. Мы начинали с выражения (21.18), зависящего от rкак 1/r и тем самым похожего на кулонов потенциал (если не обращать внимания на запаздывающий множитель в числителе). Почему же когда мы, желая получить поле, дифференцируем по пространственным координатам, то не получаем просто поля вида 1/r2 (конечно, с соответствующей временной задержкой)?
А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колебательное движение вверх и вниз. Тогда
Если начертить график зависимости Аrот rв каждый данный момент, то получится кривая, показанная на фиг. 21.3. Амплитуда в пиках убывает как 1/r, но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограничены огибающей вида 1/r. Пространственные производные в формуле пропорциональны наклону кривой. Из фиг. 21.3 видно, что встречаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой 1/г. Очевидно, что при данной частоте наклоны в пиках пропорциональны амплитуде волны, меняющейся как 1/r. Тем самым объясняется степень спадания радиационного слагаемого с расстоянием.
Все это получается оттого, что временные вариации в источнике превращаются в пространственные вариации, когда волны начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных потенциала.
Фиг. 21.3. Зависимость величины А от r в момент t для сферической волны от колеблющегося диполя.
Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты магнитного поля. Для Вхмы получили (21.21) и (21.22). Поэтому
(21.1')
С помощью точно таких же выкладок мы придем к
И все это можно объединить в одну красивую векторную формулу:
(21.23)
А теперь взгляните на нее. Прежде всего на больших удалениях (когда rвелико) следует принимать в расчет только р. Направление В дается вектором pXr, перпендикулярным и к радиусу r, и к ускорению (фиг. 21.4). Все сходится с тем, что получилось бы из формулы (21.1').
Теперь посмотрите (к этому мы не привыкли) на то, что происходит поблизости от заряда. В гл. 14, § 7 (вып. 5) мы вывели закон Био и Савара для магнитного поля элемента тока. Мы нашли, что элемент тока jdV привносит в магнитное поле следующий вклад:
(21.24)
Вы видите, что эта формула с виду очень похожа на первое слагаемое в (21.23), если только вспомнить, что р — это ток. Но разница все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в момент (t-r/с), а в (21.24) этого нет. На самом деле, однако, (21.24) для малых r все еще годится, потому что второе слагаемое в (21.23) стремится уничтожить эффект запаздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых r к результату, очень близкому к (2124).
Фиг. 21.4. Поля излучения В и Е колеблющегося диполя.
В этом можно убедиться следующим образом. Когда rмало, (t-r/с) не очень отличается от t, и в (21.23) скобки можно разложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает
n в том же порядке по r/с
Если их сложить, члены с р уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток р, т. е. р(t) плюс члены порядка (r/с)2 и выше [например, 1/2(r/с)2Р"']. Эти члены при достаточно малых r (малых настолько, что за время r/с ток р заметно не меняется) будут очень малы.
Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо более похожим на них, чем на поля теории с мгновенным действием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируются вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенсация чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, потому что временное запаздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену 1/r — к эффекту излучения.
Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где возникает распространяющаяся волна, Е перпендикулярно к В (и к r), как на фиг. 21.4, и что с В=Е. Значит, Е пропорционально ускорению р", как и предсказывалось формулой (21.1').
Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозаметным изменением r в члене с запаздыванием. Для электростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы {/r, умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равенства (21.6), используя уже найденное значение векторного потенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна dAJdz, поскольку Ахи Ayтождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем
Или в векторных обозначениях
Из равенства (21.6) получается уравнение для j:
Интегрирование по t просто убирает надо всеми р по одной точке:
(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля нет.) Теперь мы можем из
найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и прямых) выкладок [при этом нужно помнить, что p(t-r/с) и его производные по времени зависят от х, у и z через запаздывание r/с] мы получаем
где
(21.27)