Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто. Вектор р* — это дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с р* в (21.26) при малых r дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда rвелико, то член с р преобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек r и само направлено вдоль
проекции р на плоскость, перпендикулярную к r.
Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21.1'). Конечно, эта формула — более общая; она годится для любого движения, а не только для малозаметных движений, для которых запаздывание r/с в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].
§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта
В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вычислении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1') можно будет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпением!
Попробуем подсчитать в точке (х1, у1, z1) скалярный потенциал j(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электрона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точечным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(х, у, z). Потенциал j можно найти из (21.15):
(21.28)
На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от r по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что
Через r'12здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (7), измеренный в более раннее время (t—r12/c). Эта формула ошибочна.
Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как небольшое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).
Правильный ответ такой:
(21.29)
где vr' — компонента скорости заряда, параллельная r12, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со скоростью v(фиг. 21:5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r12 [расстояния от центра заряда до точки (1)].
Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы
(21.30)
где ri — расстояние от точки (1) к i-му элементу объема DVi, а ri-— плотность заряда в DVi в момент ti=(t-ri/с). Поскольку все ri>>а, удобно будет выбрать все DVi в виде тонких прямоугольных ломтиков, перпендикулярных к r12 (фиг. 21.6).
Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема DVi некоторой толщины w, много меньшей а.
Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как показано на фиг. 21.7, а. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема DVi надо брать r в свой момент t~(t-r/с). Но раз заряд движется, то для каждого элемента объема DVi он окажется в другом месте!
Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент tl = (t-r1/с) «задняя» грань заряда пришлась на DVi (фиг, 21.7, б).
Фиг. 21.6, Элемент объема DVi, используемый для вычисления потенциалов.
Фиг. 21.7. Интегрирование r(t-r'/c)dV для движущегося заряда.
Тогда, вычисляя r2DV2, нужно взять положение заряда в несколько более позднее время t2=(t- r2/c) и заряд к этому времени сместится в положение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с DV3, DV4 и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.
Толщина каждого DVi- равна w, а объем wa2. Поэтому каждый элемент объема, накладывающийся на распределение заряда, содержит в себе заряд wa2r, где r — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то можно все ri в знаменателях положить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению r' центра куба. Сумма (21.30) превращается в
где DVN—тот последний элемент DVi, который еще накладывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна
Но ra3 — просто общий заряд q, a Nw—длина b, показанная на фиг. 21.7, д. Получается
(21.31)
А чему же равно b? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от t1=(t-r1/с) до tN=(t—rN/с). Это расстояние, пройденное зарядом за время
А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное расстояние равно vDt = vb/c. Но длина b — само это расстояние плюс a:
Отсюда
Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запаздывающий» момент t' = (t-r'/с); это можно указать, записав [1—v/c]зап; тогда уравнение (21.23) для потенциала принимает вид
Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). Появился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в интеграл увеличивается в b/а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно q/r', умноженному на b/а, т.е. на 1/[1—v/c]зan.