Вообразите, что мы хотим двигать петлю в направлении x, т. е. в ту область, где поле сильнее, и что петля ориентирована так, как показано на фиг. 15.2. Мы отправимся оттуда, где поле равно нулю, и будем интегрировать силу по расстоянию по мере того, как петля входит в поле.
Фиг. 15.2. Петлю проносят через поле В (поперек него) в направлении x.
Рассчитаем сначала работу переноса каждой стороны по отдельности, а затем все сложим (вместо того, чтобы складывать силы до интегрирования). Силы, действующие на стороны 3 и 4, направлены поперек движения, так что на эти стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по x и равна 1bВ(x); чтобы узнать всю работу против действия магнитных сил, нужно проинтегрировать это выражение по x от некоторого значения х, где поле равно нулю, скажем, от х = -Ґ до теперешнего положения х2:
(15.6)
Подобно этому, и работа против сил, действующих на сторону 1,равна
(15.7)
Чтобы вычислить каждый интеграл, надо знать, как В(х) зависит от х. Но ведь сторона 1 при движении рамки расположена все время параллельно стороне 2 на одном и том же расстоянии от нее, так что в ее интеграл входит почти вся работа, затраченная на перемещение стороны 2. Сумма (15.6) и (15.7) на самом деле равна
(15.8)
Но, попав в область, где В на обеих сторонах 1 и 2 почти одинаково, мы имеем право записать интеграл в виде
где В — поле в центре петли. Вся вложенная механическая энергия оказывается равной
Это согласуется с выражением для энергии (15.4), выбранным нами прежде.
Конечно, тот же вывод получился бы, если бы мы до интегрирования сложили все силы, действующие на петлю. Если бы мы обозначили через В1 поле у стороны 1 а через В2 — поле у стороны 2, то вся сила, действующая в направлении х, оказалась бы равной
Если петля «узкая», т. е. если В2 и В1 не очень различаются между собой, то можно было бы написать
Так что сила была бы равна
(15.10)
Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, равнялась бы
а это опять -mВ. Но теперь нам становится понятно, почему получается, что сила, действующая на небольшую токовую петлю, пропорциональна производной магнитного поля, как это следовало ожидать из
Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исключено, что не все виды энергии вошли в формулу Uмех= m·B (ведь это просто некоторая имитация энергии), ею все же можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, чтобы узнать, какие силы действуют на петли с постоянным током.
§ 2. Механическая и электрическая энергии
Теперь мы хотим пояснить, почему энергия Uмех, о которой говорилось в предыдущем параграфе, не настоящая энергия, связанная с постоянными токами, почему у нее нет прямой связи с полной энергией всей Вселенной. Правда, мы подчеркнули, что ею можно пользоваться как энергией, когда вычисляешь силы из принципа виртуальной работы, при условии, что ток в петле (и все прочие токи) не меняется. Посмотрим теперь, почему же все так выходит.
Представим, что петля на фиг. 15.2 движется в направлении +х, а ось z примем за направление В. Электроны проводимости на стороне 2 будут испытывать действие силы, толкающей их вдоль провода, в направлении у. Но в результате их движения по проводу течет электрический ток и имеется составляющая скорости vy в том же направлении, в котором действует сила. Поэтому над каждым электроном каждую секунду будет производиться работа Fyvy , где vy — компонента скорости электрона, направленная вдоль провода. Эту работу, совершаемую над электронами, мы назовем электрической. Оказывается, что когда петля движется в однородном поле, то полная электрическая работа равна нулю, потому что на одной части петли работа положительная, а на другой — равная ей отрицательная. Но при движении контура в неоднородном поле это не так — тогда остается какой-то чистый избыток одной работы над другой. Вообще-то эта работа стремится изменить поток электронов, но если он поддерживается неизменным, то энергия поглощается или высвобождается в батарейке или в другом источнике, сохраняющем ток постоянным. Вот именно эта энергия и не учитывалась, когда мы вычисляли Uмех в (15.9), потому что в наши расчеты входили только механические силы, действующие на провод.