(21.9)
(Решения можно записать иначе — например в виде цилиндрических волн, разбегающихся от оси.)
Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) относится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения (21.8) всюду, кроме непосредственной окрестности точки r=0, где (21.9) представляет собой решение полного уравнения (21.7), в правой части которого стоят источники. Давайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источник s в уравнении (21.7) должен вызвать волну типа (21.9).
Предположим, что имеется сферическая волна (21.9) и поглядим, во что она превращается при очень малых r. Тогда запаздыванием -r/с в f(t-r/с) можно пренебречь, и поскольку функция f плавная, ш превращается в
(21.10)
Итак, ш в точности похоже на кулоново поле заряда, расположенного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ начала координат и имеющего плотность r,
где Q=∫rdV. Такой потенциал j удовлетворяет уравнению
Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что ш из выражения (21.10) удовлетворяет уравнению
(21.11)
где s связано с f формулой
при
Единственная разница в том, что в общем случае s, а, стало быть, и S может оказаться функцией времени.
Далее очень важно то, что если ш удовлетворяет (21.11) при малых r, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость ш от r типа 1/r приводит к тому, что пространственные производные становятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные f(t) по времени.] Так что, когда r стремится к нулю, множителем d2ш/dt2 в уравнении (21.7) по сравнению с С2ш можно пренебречь, и (21.7) становится эквивалентным уравнению (21.11).
Подытоживая, можно сказать, что если функция источника s(t) из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна
(21.12)
то решение уравнения (21.7) имеет вид
(21.13)
Влияние слагаемого с d2ш/dt2 в (21.7) сказывается лишь на появлении запаздывания (t-r/с) в потенциале кулонова типа.
§ 3. Общее peшeниe уравнений Максвелла
Мы нашли решение уравнения (21.7) для «точечного» источника. Теперь встает новый вопрос: Каков вид решения для рассредоточенного источника? Ну, это решить легко; всякий источник s(x, у, z, t) можно считать состоящим из суммы многих «точечных» источников, расположенных поодиночке в каждом элементе объема dV и имеющих силу s(x, у, z, t)dV. Поскольку (21.7) линейно, суммарное поле представляет собой суперпозицию полей от всех таких элементов источника.
Используя результаты предыдущего параграфа [см. (21.13)], мы получим, что в момент t поле dш в точке (х1, y1, z1) [или, короче, в точке (1)], создаваемое элементом источника sdV в точке (х2> у2, z2) [или, короче, в точке (2)], выражается формулой
где r12 — расстояние от (2) до (1). Сложение вкладов от всех частей источника означает, конечно, интегрирование по всей области, где s№0, так что мы имеем
(21.14)
Иначе говоря, поле в точке (1) в момент времени t представляет собой сумму всех сферических волн, испускаемых в момент t-r12/c всеми элементами источника, расположенного в точке (2). Выражение (21.14) является решением нашего волнового уравнения для любой системы источников.