Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда I' оказалась действительным числом, скажем I0; тогда истинное изменение I во времени дается формулой
I=I0coswt.
.
Входящая в уравнение (22.25) э.д.с.— это действительная часть
или
(22.26)
Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.
Средняя скорость потерь энергии <Р>ср, текущей от генератора, есть интеграл от произведения eI за один цикл, деленный на период Т; иными словами,
Первый интеграл равен 1/2I20R, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе z—R+iX зависит лишь от действительной части z и равна I20R/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивлении. В реактивной части потерь энергии не бывает.
§ 6. Лестничная сеть
А теперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные сочетания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу видно, что импеданс между зажимами а и b просто равен z1+z2. Возьмем теперь цепь потруднее (фиг. 22.18, б). Ее можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импеданса на правом конце можно заменить одним z3=z1+z2 (см. фиг. 22.18, в). Тогда два импеданса z2 и z3 можно заменить их эквивалентным параллельным импедансом z4 (фиг. 22.18, г). И наконец, z1 и z4 эквивалентны одному импедансу z5 (фиг. 22.18, д).
А теперь можно поставить забавный вопрос: что произойдет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18, б, бесконечно подключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19, а)? Можно ли решить задачу о такой бесконечной цепи? Представьте, это совсем не трудно. Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если новое звено подключить к «переднему» концу. Ведь если к бесконечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной цепью.
Фиг. 22.18. Эффективный импеданс лестницы.
Пусть мы обозначили импеданс между зажимами а и b бесконечной цепи через z0; тогда импеданс всего того, что справа от зажимов с и d, тоже равен z0. Поэтому если смотреть с переднего конца, то вся цепь представляется в виде, показанном на фиг. 22.19, б. Заменяя два параллельных импеданса z2 и z0 одним и складывая его с z1? сразу же получаем импеданс всего сочетания
Но этот импеданс тоже равен z0. Получается уравнение
Найдем из него z0:
(22.27)
Фиг. 22.19. Эффективный импеданс бесконечной лестницы.
Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконечной лестницы повторяющихся параллельных и последовательных импедансов. Импеданс z0 называется характеристическим импедансом такой бесконечной цепи.
Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность L, а шунтовой элемент — емкость С (фиг. 22.20, а). В этом случае импеданс бесконечной сети получается, если положить z1=iwL и z2=1/iwС. Заметьте, что первое слагаемое z1/2 в (22.27) равно просто половине импеданса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу бесконечную сеть так, как показано на фиг. 22.20, б. Глядя на бесконечную сеть из зажима a', мы бы увидали характеристический импеданс
(22.28)
Смотря по тому, какова частота w, наблюдаются два интересных случая. Если w2 меньше 4/LC, то второе слагаемое под корнем меньше первого, и импеданс z0 станет действительным числом. Если же w2 больше 4/LС, то импеданс z0 станет чисто мнимым числом и его можно записать в виде