Фейнмановские лекции по физике 6a

также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Фактически мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась величина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведением двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записывать его а_m·b_m, чтобы оно даже выглядело похожим на скалярное произведение. Но обычно, к сожалению, так не делают и пишут его без точки.

И мы тоже будем придерживаться этого порядка и записывать скалярное произведение просто a_mb_m . Итак, по определению,

(25.7)

Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо m мы иногда будем пользоваться v или другими буквами), необходимо взять четыре произведения и сложить их, не забывая при этом о знаке минус перед произведениями пространственных компонент. С учетом такого соглашения инвариантность скалярного произведения при преобразованиях Лоренца можно записать как

Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:

Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как а_mа_m:

(25.8)

Но иногда удобно эту величину записать как а²_m:

Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р') получают на больших ускорителях из реакции

Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок водородной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон—антипротон.

Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?

Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в системе центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через р^a_m. Аналогично, протон мишени назовем b, а его четырехимпульс обозначим через р^b_m. Если энергии падающего протона как раз достаточно для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, содержащая три протона и антипротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоянии вылетят с некоторой кинетической энергией и будут разлетаться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недостаточно для образования четырех частиц.

Пусть р^с_m — полный четырехимпульс всей системы в конечном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и

а комбинируя эти два выражения, можно написать

(25.9)

Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы получили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выполняться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно воспользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.

(25.10)

Так как р^с_m р^с_m — инвариант, то можно вычислить его в какой-то одной системе координат. В системе ц. м. временная компонента р^с_m равна энергии покоя четырех протонов, т. е. 4М, а пространственная часть р равна нулю, так что р^с_m=(4М, 0). При этом мы воспользовались равенством масс протона и антипротона, обозначив их одной буквой М.

Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид

(25.11)

Произведения р^а_mр^а_m и p^b_mp^b_m, вычисляются очень быстро: «длина» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы: