где С·b — обычная трехмерная дивергенция вектора b. Не забывайте внимательно следить за знаками. Один знак минус связан с определением скалярного произведения [формула (25.7)1, а другой возникает от пространственных компонент Сm [формула (25.16)]. Дивергенция, определяемая формулой (25.7), есть инвариант, и для всех систем координат, отличающихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине.
Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда r и плотность тока j образуют четырехвектор jm=(p, j). Если незаряженный провод переносит ток jx, то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью v (вдоль оси х), в проводнике наряду с током появится и заряд [который возникает согласно закону
преобразований Лоренца (25.1)1:
Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля.
Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора jm :
(25.18)
Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,
Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда:
(25.19)
Благодаря тому, что Сmjm — инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью.
В качестве последнего примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента Сm на себя. В трехмерном пространстве такое произведение дает лапласиан
Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, находим
Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется даламбертианом и обозначается специальным
символом
(25.20)
По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!]
Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит.
§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях
В гл. 18, § 6, мы уже сталкивались с оператором Даламбера, хотя и не знали, что он так называется. Мы нашли там дифференциальное уравнение для потенциалов, которое в новых обозначениях выглядит так:
(25.21)
С правой стороны (25.21) стоят четыре величины r, jx, j , jz, поделенные на e0 — универсальную постоянную, одинаковую во всех системах координат, если во всех системах для измерения заряда используется одна и та же единица. Таким образом, четыре величины r/jе0, jх/e0, jy/e0, jz/e0 тоже преобразуются как четырехвектор. Их можно записать в виде jz/е0. Оператор Даламбера не изменяется при переходе к другим системам координат, так что четыре величины j, Ах, Ау и Az тоже должны преобразоваться как четырехвектор, т. е. должны быть компонентами четырехвектора. Короче говоря, величина