§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью
Итак, мы нашли потенциалы точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Для практических целей нам нужно найти поля. Равномерно движущиеся заряды попадаются буквально на каждом шагу, скажем проходящие через камеру Вильсона космические лучи или даже медленно движущиеся электроны в проводнике. Так что давайте хотя бы посмотрим, как выглядят эти поля для любых скоростей заряда, даже для скоростей, близких к скорости света, но предположим при этом, что ускорение вообще отсутствует. Это очень интересный вопрос.
Поля мы будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов
Возьмем сначала Ez:
Но компонента Az равна нулю, а дифференцирование выражения (26.1) для j дает
(26.2)
Аналогичная процедура для Еу приводит к
(26.3)
Немного больше работы с x-компонентой. Производная от j более сложна, да и Ах не равна нулю. Давайте сначала вычислим —дj/дх:
(26.4)
А затем продифференцируем Ах по t:
(26.5)
И, наконец, складывая их, получаем
(26.6)
Бросим на минуту заниматься полем Е, а сначала найдем В. Для его z-компоненты мы имеем
Но, поскольку Аy равна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что Ах просто равна vj, а производная (d/dy)vj равна —vEy . Так что
(26.7)
Аналогично,
или
(26.8)
Наконец, компонента Вх равна нулю, поскольку равны нулю и Ау и Аг. Таким образом, магнитное поле можно записать в виде
(26.9)
Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попытаемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каком-то смысле происходит из запаздывающего положения, но, поскольку мы имеем дело со строго заданным движением, запаздывающее положение однозначно определяется положением в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с текущими координатами, ибо компоненты поля в точке х, у, z зависят только от (х-vt), у и z, которые являются компонентами вектора перемещения rp из постоянного положения заряда в точку (х, у, z) (фиг. 26.3).
Фиг. 26.3. Электрическое поле заряда, движущегося с постоянной скоростью, направлено по радиусу от истинного положения заряда.
Рассмотрим сначала точки, для которых z= 0. Поле Е в этих точках имеет только х- и y-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отношению х- и y-компонент вектора перемещения. Это означает, что направление Е совпадает с направлением rp, как это показано на фиг. 26.3. Тот же результат остается справедливым и для трех измерений, поскольку Ez пропорционально z. Короче говоря, электрическое поле заряда радиально и силовые линии расходятся от заряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия дополнительного фактора (1-v2) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае. Но здесь мы можем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишете закон Кулона в особой системе координат, «сжатой» вдоль оси x множителем Ц(1-v2) Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгустятся (фиг. 26.4).