Но вспомните, ведь At=j, поэтому предыдущее выражение равно
Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте производная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z. Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать
(26.17)
Теперь она в точности равна — Ег. Так же можно построить Ftx и Ftv и получить три выражения:
А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа
т. е. просто нуль.
Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ничего нового, ибо
Fxy= -Fyx
и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбинаций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.
Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами m и v, каждый из которых может быть 0, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) t, x, у или z. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если Fmv определить как
Fmv =СmAv-СvAm, (26.19)
помня при этом, что
То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе существуют шесть величин, которые представляют различные стороны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, которые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как совершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».
Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект Fmv . Вот как обстоит дело в теории относительности. Полученные результаты для Fmv собраны в табл. 26.1.
Таблица 26.1 · компоненты fmv
Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свойства преобразования в точности такие же, как свойства преобразования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному векторному произведению в трехмерном пространстве, например к моменту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбинация (xvy—yvx), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали моментом количества движения:
Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотворили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искусственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент Ltj (i и j равны х, у или z) оказался антисимметричным объектом, т. е.
Lij= - Lji , Lii=0.
Из девяти возможных его величин независимы лишь три. И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три оператора преобразуются в точности, как компоненты вектора.