Фейнмановские лекции по физике 6a

То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем dx и dy, которые можно представить вектором da, ортогональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy? Куда она направлена — по оси z или по t?

Короче говоря, для трех измерений оказывается, что комбинацию двух векторов типа L_ij, к счастью, снова можно представить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонентам вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невозможно, поскольку независимых членов шесть, а шесть величин вы никак не представите в виде четырех.

Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора a=(а_х, a_y , a_z) и b=(b_x, b_y, b_z) и составили всевозможные различные комбинации компонент типа a_xb_x, a_xb_y и т. д. Всего получается девять возможных величин:

Эти величины можно назвать Т' _ij .

Если теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси z), то при этом компоненты а и b изменяются. В новой системе а_х должно быть заменено на

Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины T_ij., разумеется, тоже изменяются. Например, T_xy =а_хb_у переходит в

или

Каждая компонента T_ij — это линейная комбинация компонент t_ij.

Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение aXb, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векторов t_ij . можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензором. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.

Суть всего этого разговора в том, что наше электромагнитное поле F_mv — тоже тензор второго ранга, так как у него два индекса. Однако это уже тензор в четырехмерном пространстве. Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора F _mv вы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и называется он антисимметричным. Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тензора второго ранга в четырехмерном пространстве.

Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве».

Теперь нам нужно найти закон преобразования F_mv. Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Единственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины С_m A_v— С_vA_m . Так как С_m — просто специальный случай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной