Заметьте, что первое слагаемое в правой части (27.7) переписывается в виде
(27.8)
вы знаете из векторной алгебры, что (aXb)·c равно а·(bXc), поэтому первое слагаемое принимает вид
(27.9)
т. е. получилась дивергенция «чего-то», к которой мы так стремились. Получилась, но только все это неверно! Я предупреждал вас, что оператор С только «похож» на вектор, а на самом деле он не «настоящий» вектор. Вспомните, что в дифференциальном исчислении существует дополнительное соглашение: когда оператор производной стоит перед произведением, он действует на все стоящее правее него. В уравнении (27.7) оператор С действует только на В и не затрагивает Е. Но если бы мы записали его в форме уравнения (27.9), то общепринятое соглашение говорило бы, что С действует как на В, так и на Е. Так что это не одно и то же. В самом деле, если расписать С·(ВXЕ) по компонентам, то можно убедиться, что оно равно E· (СXB) плюс какие-то другие слагаемые. Это напоминает взятие производной от произведения в обычном анализе. Например,
Вместо того чтобы выписать все компоненты С· (BXE), мне бы хотелось показать вам один трюк, очень полезный в задачах такого рода. Он позволит вам всюду в выражениях, содержащих оператор С, пользоваться правилами векторной алгебры, не попадая впросак. Трюк состоит в отбрасывании (по крайней мере на время) правил дифференциального исчисления относительно того, на что действует оператор производной. Вы знаете, что порядок сомножителей важен в двух различных случаях. Во-первых, в дифференциальном исчислении: f(d/dx)g не то же самое, что g(d/dx)f; и, во-вторых, в векторной алгебре: aXb отличается от bXа. Мы можем, если захотим, на минуту отказаться от правил дифференциального исчисления. Вместо того чтобы говорить, что производная действует на все стоящее правее от нее, мы примем новое правило, избавляющее нас от порядка, в котором записаны сомножители. После этого мы можем крутить ими, как хотим, без всяких помех.
Вот наше новое правило: с помощью индекса мы будем указывать, на что же именно действует дифференциальный оператор; при этом порядок сомножителей не имеет никакого значения. Допустим, что оператор д/дх мы обозначили через D. Тогда символ Df говорит, что берется производная только функции
Но если мы имеем выражение Dffg, то оно означает
Заметим теперь, что, согласно нашему новому правилу, fDfg означает то же самое. Одно и то же выражение можно записать любым из следующих способов:
Вы видите, что Df может стоять даже после всего. (Странно, почему такому удобному обозначению обычно не учат в книгах по математике и физике.)
Вы, пожалуй, удивитесь: а что, если я хочу написать производную от fg? Если мне нужна производная от обоих членов? Это очень легко: вы пишете Df(fg)+Dg(fg),т.e.g(df/dx)+f(dg/dx), что в старых обозначениях как раз равно d(fg)/dx.
Вы сейчас увидите, как просто теперь получить новое выражение для С·(ВXЕ). Начнем с перехода к новому обозначению и напишем
(27.10)
Как только мы сделали это, уже нет больше нужды придерживаться строгого порядка. Мы всегда знаем, что СE действует только на Е, a СB действует только на В. При этих обстоятельствах оператором С можно пользоваться как обычным вектором. (Разумеется, после того как все будет окончено, нам захочется вернуться к «стандартным» обозначениям, которые обычно используются.) Таким образом, теперь мы можем делать различные перестановки сомножителей. Так, средний сомножитель в уравнении (27.10) можно переписать как Е·(СBXВ). [Надеюсь, вы помните, что a·(bXc) = b·(cXa).] А последний — как В·(EXСE). Хотя это выглядит несколько странно, но тем не менее здесь все в порядке. Если же мы теперь попытаемся вернуться к старым обозначениям, то должны будем расположить операторы С так, чтобы они действовали на свои «собственные» переменные. В первом из них все в порядке, так что мы можем просто опустить индекс у С. Второй же требует некоторой реорганизации, чтобы оператор С поставить перед Е. Этого можно