Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости s на площади Dy/Dz, действует на материал, находящийся справа, с силой D F ₁ .

Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой DF₁ (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —DF₁. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила DF₁ пропорциональна площади Dy/Dz.

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умноженному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна поверхности: помимо давления (положительного или отрицательного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если разрез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориентацией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор напряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF₁, действующую на разрезе, на ее компоненты: DF_x1, DF_y1, DF_z1 (фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила DF₁, действующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компоненты: DF_x1, DF_у1 и DF_z1.

Отношение этих сил к площади Dy/Dz мы назовем S_xx, S_yxи S_zx. Например,

S_yx=DF_у1/DyDz

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь DyDz можно записать как Dа_х, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

S_yx=DF_у1/Dа_х

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку DxDz действует сила DF₂.

Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы определяем три компоненты напряжения S_xy, S_yy, S_zyкак силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпендикулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты S_xz, S_yzи S_zz. Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточно, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что S_ij-—действительно тензор. Предположим, что мы хотим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из S_ij? Можно, и это делается следующим образом. Вообразите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изображенная на фиг. 31.8.

Фиг. 31.8. Разложение на компоненты силы F_n, действующей на грани N (с единичной нормалью n).

(Это, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора S_ij. А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выразить через S_ij.

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы будут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорциональны Dx,Dy, Dz, тогда как поверхностные силы пропорциональны DxDy, DyDz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Dz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

DF_x2=S_xyDхDz,

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямоугольную грань, равна

DF_x1=S_хxDz.

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единичный вектор нормали к грани N, а через F_n — действующую на нее силу, тогда получим

DF_xn=S_xxDyDz+S_xyDxDz.

Составляющая напряжения по оси х (S_xn), действующего в этой плоскости, равна силе DF_xn, деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx²+Dy²), или

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Dх/Ц(Dx²+Dy²) — это косинус угла q между n и осью у и может быть записан как п_у, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, Dy/Ц(Dx²+Dy²) равно sinq=n_х. Поэтому мы можем написать

S _xn =S _xx n _x +S _xy n _y

рели теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

S_xn= S_xxn_x+S_xyn_y+S_xzn_z,

или в еще более общей форме:

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы S_ijи полностью описать внутреннее напряжение.

Уравнение (31.24) говорит, что тензор S_ij связывает силу S_n с единичным вектором n точно так же, как a_ijсвязывает Р с Е. Но поскольку n и S_n — векторы, то компоненты S_ijпри изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что S_ijдействительно тензор.