Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «потоку» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность текущего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотностью заряда j_t=r и получить четырехвектор j_m=(r, j), т. е. значок m у вектора j_m принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c S_xx,S_xyи S_xz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента S_{xt, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxtдолжна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:}

S_{xt— плотность x-компоненты импульса,}

S_xx — поток z-компоненты импульса в направлении оси х,

S_xy — поток y-компоненты импульса в направлении оси у,

S_xz — поток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S_yx, S_yyи S_yz, к которым нужно добавить четвертый член:

S_yt — плотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам S_zx, S_zyи S_zzмы добавляем

S_zt — плотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор S_ijследует продолжить по вертикали с включением в него S_tx, S_tyи S_tz, причем

S_tx — поток энергии в направлении оси х, S_ty — поток энергии в направлении оси у, (31.28) S_tz — поток энергии в направлении оси z,

т. е. S_tx— это поток энергии в единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина S_tt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса S_mv. Индекс m может принимать четыре значения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единичную площадь в направлении оси y» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четыре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», x-компонента импульса», «y-компонента импульса» или же «z-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается вектором Пойнтинга S=e₀c²EXВ. Так что х-, у- иz-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами: S_ix, S_tни S_tzнашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора S_ijпереносится и на временные компоненты, так что четырехмерный тензор S_mv тоже симметричен:

S_mv=S_vm. . (31.29)

Другими словами, компоненты S_xt, S_yt, S_zt, которые представляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы видели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напряжения S_mvтоже можно выразить через электрическое и магнитное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, потока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмерных тензорах, может понравиться выражение для тензора S_{mvчерез поля:}

где суммирование по a и b проводится по всем их значениям (т. е. t, x, у и z), но, как обычно в теории относительности, для суммы S и символа d принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками х, у, z должны вычитаться, а d_tt=+1, тогда как d_xx.=d_уу = d_zz=-1 и d_mv=0 для всех m№v (с=1). Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии S_tt=(e₀/2)(E²+B²) и вектору Пойнтинга e₀ЕXВ? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда В=0, главная ось напряжения направлена по электрическому полю и вдоль направления поля возникает натяжение (e₀/2)E²и равное ему давление в направлении, перпендикулярном направлению поля?

* Если не полагать с=1, как это делается здесь, то плотность энергии в принятых в книге единицах будет равна (e ₀ /2)(E ² +с ² B ² ) или в единицах СИ ¹ / ₂ [e ₀ E ² +(l/m ₀ )B ² ]. — Прим. ред.