Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Р будет просто Np=e0NaE, т. е. пропорциональна Е:
Р=e0Na(w)Е. (32.8)
Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах a мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа пропорциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями электрического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в материале поляризацию, пропорциональную его напряженности.
§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике
Наличие в веществе поляризации означает, что там возникают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно определяются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов r и плотности тока j, усредненных по тому же самому малому объему, который имелся в виду при определении вектора Р. Потом необходимые нам значения r и j могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация Р меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:
rпол=-С·Р. (32.9)
В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда qeна скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N штук, то они создают плотность тока j:
j =Nq e v .
Ну а поскольку известно, что v=dx/dt, то j=Nqedx/dt, что как раз
равно dP/dt.Следовательно, при переменной поляризации возникает плотность тока
jпол=dP/dt (32.10)
Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяемыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая при этом волновое решение.
Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сделать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что уравнения писались в другой форме в течение многих лет (да и сейчас многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разницу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа атомов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что С·P дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).
Сегодня же мы предпочитаем обозначать через r полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с индивидуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов rпол, то можно написать
r=rпол+rдр,
где rдр— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относящаяся к другим зарядам, не связанным с определенными атомами. При этом мы бы написали
После подстановки rпол из (32.9) получаем
или
В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Максвелла для СXB, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать
j=jпол+jдр,
причем уравнение Максвелла приобретает вид
Используя уравнение (32.10), получаем
Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор D
D=e0E+P, (32.14)
то два уравнения поля приняли бы вид
С·D=rдр (32.15)
и
Это и есть та форма уравнений, которую использовал Максвелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:
СXЕ=-дB/дt
и
С·B=0,
которые в точности совпадают с нашими.
Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали
где Н отличается от e0с2В, так как последнее учитывает эффекты атомных токов. (При этом j' представляет то, что осталось от токов.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых вектора: Е, D, В и Н, причем в D и Н скрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещества. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во многих местах.
Чтобы решить их, необходимо как-то связать D и Н с другими полями, поэтому зачастую писали
D =eE
и
В=mH. (32.18)
Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых веществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом e и mкомплексными функциями частоты, но для произвольных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения записанными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.
§ 3. Волны в диэлектрике
Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромагнитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах,
нет. Таким образом, мы возьмем r=-С·Р и j=дP/дt . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:
Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:
СX(СXE)=-(д/дt)СXB.
Используя затем векторное тождество
СX(СXE) = С(С·E)-С2E и подставляя выражение для СXB из (32.19б), получаем
Используя уравнение (32.19а) для С·Е, находим
Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь получили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим поляризацию Р.