Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде

Поскольку вектор k перпендикулярен оси z, то

k·r=k_xx+k_yy. (33.12) Отраженную волну мы запишем как

так что ее частота равна w', волновое число k', а амплитуда Е'₀. (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора k в отраженной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим предполагать даже это. Пусть это все получится само собой из математического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:

Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотношение (33.9), так что для каждой из волн

Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозначим через n₁и n₂, то из уравнения (33.10) получится

Поскольку отраженная волна находится в том же материале, то

в то время как для преломленной волны

§ 3. Граничные условия

Все что мы делали до сих пор, было описанием трех волн; теперь нам предстоит выразить параметры отраженной и преломленной волн через параметры падающей. Как это сделать?

Три описанные нами волны удовлетворяют уравнениям Максвелла в однородном материале, но, кроме того, уравнения Максвелла должны удовлетворяться и на границе между двумя материалами. Так что нам нужно сейчас посмотреть — что же происходит на самой границе. Мы найдем, что уравнения Максвелла требуют, чтобы три волны определенным образом согласовывались друг с другом.

Вот один из примеров того, что мы имеем в виду. Составляющая по оси у электрического поля Е должна быть одинакова по обеим сторонам границы. Это требуется законом Фарадея:

СXE=дB/дt, (33.19)

в чем нетрудно убедиться. Рассмотрим для этого маленькую петлю Г, которая с обеих сторон охватывает границу (фиг. 33.4).

Фиг. 33.4. Граничное условие E _{y 2} =E _{y 1} , полученное из равенства

Согласно уравнению (33.19), криволинейный интеграл от Е по петле Г равен скорости изменения потока В через эту петлю:

Вообразите теперь, что прямоугольник очень узок, так что он замыкается в бесконечно малой области. Если при этом поле В остается конечным (нет никаких причин ему быть бесконечным!), то поток через эту область будет равен нулю. Таким образом, контурный интеграл от Е должен быть нулем. Если y-компоненты поля на двух сторонах границы равны Е_y1и Е_y2, а длина прямоугольника равна l, то мы получаем

E _{y 1} l-E _{y 2} l=0

или

Е_у1=Е_у2, (33.20)

как мы и ожидали. Это условие дает нам одно соотношение между полями в трех волнах.

Процедура нахождения следствий уравнений Максвелла на границе называется «определением граничных условий». Обычно она заключается в нахождении стольких уравнений типа (33.20), сколько возможно, и выполняется она с помощью рассмотрении маленьких прямоугольников, подобных Г на фиг. 33.4, или маленьких гауссовых поверхностей, охватывающих границу с двух сторон. Хотя это совершенно правильный способ рассуждений, он создает впечатление, что в различных физических задачах с границами нужно обращаться по-разному.

Как, например, в задаче о тепловом потоке через поверхность определить температуру на обеих прилежащих к ней сторонах? Конечно, вы вправе утверждать, что тепло, притекающее к границе с одной стороны, должно быть равно теплу, утекающему от нее с другой. Обычно это возможно и, вообще говоря, очень полезно находить граничные условия из такого рода физических рассуждений. Однако могут встретиться случаи, когда при работе над какой-то проблемой вам известны лишь уравнения и вы не можете непосредственно увидеть, какие же физические аргументы можно использовать. Так что, хотя в данный момент мы заинтересованы только в электромагнитных явлениях, где можно привести физические аргументы, я хочу научить вас методу, который можно применить в любой задаче: общему методу нахождения непосредственно из дифференциальных уравнений того, что происходит на границе.

Начнем с выписывания всех уравнений Максвелла для диэлектрика, но на этот раз скрупулезно выписывая все компоненты:

Эти уравнения должны быть справедливы как в области 1 (слева от границы), так и в области 2 (справа от нее). Мы уже выписывали решения в областях 1 и 2. Они должны удовлетворяться и на самой границе, которую мы можем назвать областью 3. Хотя обычно мы считаем границу чем-то абсолютно резким, на самом деле таких границ не бывает. Физические свойства, правда, изменяются очень быстро, но все же не бесконечно быстро. Во всяком случае, мы можем считать, что между областями 1 и 2 изменение показателя преломления хотя и очень быстрое, но непрерывное. Это небольшое расстояние, на котором оно происходит, мы можем назвать областью 3. Подобный же переход в области 3 будут претерпевать и другие характеристики поля, такие, как Р_хили Е_yи т. п. Однако дифференциальные уравнения должны удовлетворяться; именно следуя за дифференциальными уравнениями в этой области, мы придем к необходимым «граничным условиям».

Предположим, например, что у нас есть граница между вакуумом (область 1) и стеклом (область 2). В вакууме нечему поляризоваться, так что P₁=0. А поляризация в стекле пусть равна Р₂. Между вакуумом и стеклом существует гладкий, но быстрый переход. Если мы проследим за какой-то компонентой Р, скажем Р_х, то она может изменяться так, как это показано на фиг. 33.5, а.

Фиг. 33.5. Поля в переходной области 3 между двумя различными материалами в областях 1 и 2.

Предположим теперь, что мы взяли первое из наших уравнений — уравнение (33.21). В него входит производная от компонент Р по переменным х, у и z. Производные по у и r не очень интересны — в этих направлениях не происходит ничего замечательного. Но производная от Р_хпо х в области 3 из-за быстрого изменения Р_хбудет громадна. Производная дР_х/дх, как показано на фиг. 33.5,б, имеет на границе очень резкий пик. Если вы представите, что граница сжимается до еще более тонкой области, пик вырастет еще больше. Если для интересующих нас волн граница действительно резкая, то величина дP/дx в области 3 будет больше, много больше любого вклада, который может получиться из-за изменения Рв стороне от границы, так что мы пренебрегаем любыми другими изменениями, за исключением происходящих на границе.

Но как теперь можно удовлетворить уравнению (33.21), если с правой стороны у нас возвышается огромный пик? Только если существует равный ему громадный пик с другой стороны. Что-то и с левой стороны должно быть большим. Единственная возможность — это дЕ_х/дх, поскольку изменения в направлениях у и z в тех волнах, о которых мы только что упомянули, дают лишь малый эффект. Таким образом, -e₀(дЕ_х/дх) должно быть, как это показано на фиг. 33.5,в, точной копией дP/дx. Получается