Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Теперь наши граничные условия [уравнения (33.26) — (33.31)] должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2. В области 2 у нас есть только одна преломленная волна, а вот в области 1 — их две. Какую же из них нам взять? Поля в области 1 будут, разумеется, суперпозицией полей падающей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет уравнениям Максвелла, то им удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что

E₁=E_i+E_r, E₂=E_t

я аналогично для В.

Для поляризаций, которыми мы сейчас занимаемся, уравнения (33.26) и (33.28) не дают никакой новой информации, и только уравнение (33.27) поможет нам. Оно говорит, что на границе, т. е. при х=0:

E _i +E _r =E _t .

Таким образом, мы получаем уравнение

которое должно выполняться для любого t и любого у. Возьмем сначала y=0. Для этого значения уравнение (33.38) превращается в

согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляции одинаковы. (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак,

w"=w'=w, (33.39)

как это и было нам всегда известно, т. е. частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей.

Если бы мы предположили это с самого начала, то несомненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось показать вам, что тот же самый результат можно получить и из уравнений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего пускать в оборот сразу все, что вы знаете. Это избавит вас от лишних хлопот.

По определению абсолютная величина k задается равенством k²=n²w²/с², поэтому

А теперь обратимся к уравнению (33.38) для t=0. Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех значениях у, мы получаем

k"_y=k'_y=k_y. (33.41)

Из формулы (33.40) k'²=k², так что

k'²_x+k'²_y =k²_x+k²_y. Комбинируя это с (33.41), находим

k'²_x=k²_x , или k'_x=+k_x. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что

k'_x=-k_x. (33.42)

Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отражения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне

Для преломленной волны мы уже получали

Их можно решить и в результате получить

Предположим на мгновение, что n₁и n₂ — вещественные числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что

k_y/k =sinq_i, k_y/k"=sinq_t. (33.46)

Но ввиду уравнения (33.44) мы получаем

n₂sinq_t=n_isinq_i;, (33.47)

т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться

(33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы q_i. и q_t из

(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами k_x или k"_x..]

До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциальный множитель в (33.38) и получить

е₀+е'₀=е"₀. (33.48)

Но поскольку мы не знаем ни Е'₀, ни Е"₉, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Е_хи Е_yне помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

B_x2 =B_x1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),

Вспоминая, что w" =w'= w и k"_y=k'_y=k_y, получаем

е ₀ +е' ₀ =е" ₀ .

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) B_z2=В_z1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) В_у2=В_у1. Для наших трех волн

Подставляя вместо E_i,E_rи E_tволновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:

Учитывая равенство всех w и k_y , снова приходим к условию k_xE₀ + k'_xE'₀=k"_xE"₀. (33.50)

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E'₀ и Е"₀. Вспоминая, что k’_x=-k_x, получаем

Вместе с (33.45) или (33.46) для k”_xэти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллельным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)

Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне параллельно плоскости падения.

При этом мы найдем

и

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отраженной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного показателя (или вещественных k) можно записать: