rпол= -С·Р. (36.1)
Полный же заряд в любой ситуации можно записать в виде суммы этого поляризационного заряда и всех других зарядов, плотность которых мы обозначим через rдр. Тогда уравнения Максвелла, которые связывают дивергенцию Е с плотностью зарядов, примут вид:
или
Затем мы можем перебросить поляризационную часть заряда в левую сторону уравнения и получить
С· (e0Е+Р)=rдр. (36.2)
Этот новый закон говорит, что дивергенция величины (e0 Е+Р) равна плотности других зарядов.
Совместная запись Е и Р, как это сделано в уравнении (36.2), полезна, разумеется, только когда мы знаем какие-то соотношения между ними. Мы видели, что теория, связывающая наведенный электрический дипольный момент с полем,— вещь довольно сложная и ее на самом деле можно применять только в относительно простых случаях, но и то только как приближение. Я хочу напомнить вам об одном приближении.
Фиг. 36.1. Электрическое поле в полости в диэлектрике зависит от формы полости.
Чтобы найти наведенный дипольный момент атома внутри диэлектрика, необходимо знать электрическое поле, которое действует на отдельный атом. В свое время мы использовали приближение, пригодное во многих случаях; было предположено, что на атом действует поле, которое было бы в центре небольшой полости, оставшейся после удаления этого атома (считая, что дипольные моменты всех других соседних атомов при этом не изменяются). Вспомните также, что электрическое поле в полости внутри поляризованного диэлектрика зависит от формы этой полости. Эти результаты мы подытожили на фиг. 36.1. В тонкой дискообразной полости, перпендикулярной направлению поляризации, электрическое поле, как было показано с помощью закона Гаусса, имеет вид
Еполость=Едиэл+P/e0 (дискообразная полость). С другой стороны, используя равенство нулю ротора, мы нашли, что электрическое поле внутри и вне иглообразной полости одно и то же:
Еполость= Едиэл (иглообразная полость).
Наконец, мы обнаружили, что величина электрического поля внутри сферической полости лежит между этими двумя значениями:
Еполость=Едиэл+1/3P/e0 (сферическая полость). (36.3)
Это и было то поле, которым мы пользовались, рассуждая о том, что происходит с атомами внутри поляризованного диэлектрика.
Попробуем обсудить аналогичную задачу в случае магнетизма. Легче всего и короче просто сказать, что М — магнитный момент единицы объема (намагниченность) — в точности аналогичен Р — электрическому дипольному моменту единицы объема (поляризация) и что, следовательно, отрицательная дивергенция М эквивалентна «плотности магнитных зарядов» rm, что бы это ни означало. Но беда в том, что в физическом мире не существует такой штуки, как «магнитный заряд». Как мы знаем, дивергенция В всегда равна нулю. Это, однако, не помешает нам провести искусственную аналогию и написать
СM=-rm, (38.4)
но нужно понимать, что rm— величина чисто математическая. Затем мы можем все делать полностью аналогично электростатике и использовать все старые электростатические уравнения. К этому часто прибегают. Когда-то такая аналогия считалась даже правильной. Ученые верили, что rmпредставляет плотность «магнитных полюсов». Однако сейчас нам известно, что намагничивание материала происходит за счет токов, циркулирующих внутри атомов, т. е. либо вращения электронов, либо движения их в атоме. Следовательно, с физической точки зрения лучше описывать намагничивание только при помощи реальных атомных токов, а не вводить плотность каких-то мистических «магнитных зарядов». Эти токи иногда называются еще «амперовскими», ибо Ампер первый предположил, что магнетизм вещества происходит за счет циркуляции атомных токов.
Микроскопические плотности токов в намагниченном веществе, разумеется, очень сложны. Их величина зависит от местоположения в атоме: в некоторых местах они велики, в других — малы, в одной части они текут в одну сторону, а в другой — в противоположную (точно так же, как микроскопическое электрическое поле, которое внутри диэлектрика в высшей степени неоднородно). Однако во многих практических задачах нас интересуют только поля вне вещества или средние магнитные поля внутри него, причем под средним мы имеем в виду усреднение по очень многим атомам. В таких макроскопических задачах магнитное состояние вещества удобно описывать через намагниченность М — средний магнитный момент единицы объема. Я расскажу сейчас, как атомные токи в намагниченном веществе вырастают до макроскопических токов, которые связаны с М.
Разобьем плотность тока j, которая является реальным источником магнитных полей, на разные части; одна из них описывает циркулирующие токи атомных магнитиков, а остальные — другие возможные токи. Обычно удобнее делить токи на три части. В гл. 32 мы делали различие между токами, свободно текущими по проводникам, и токами, обусловленными движением связанных зарядов в диэлектрике то туда, то сюда. В гл. 32, §2, мы писали
j=j пол + j др ,
причем величина jпол представляла токи от движения связанных зарядов в диэлектриках, a jдp — все другие токи. Пойдем дальше. Я хочу из jр выделить часть jмar, которая описывает усредненные токи внутри намагниченных материалов, и дополнительный член, который мы будем называть jnpов и который будет описывать все остальное. Он, вообще говоря, относится к токам в проводниках, но может описывать и другие токи, например токи зарядов, движущихся свободно через пустое пространство. Таким образом, полную плотность тока мы будем писать в виде
j =jпол+jмaг+jnpoв. (36.5)
Разумеется, именно этот ток входит в уравнение Максвелла с ротором В;
Теперь мы должны связать ток jмaг с величиной вектора намагниченности М. Чтобы вы представляли, к чему мы стремимся, скажу, что должен получиться такой результат:
jмaг=СXM. (36.7)
Если в магнитном материале нам всюду задан вектор намагниченности М, то плотность циркуляционного тока определяется ротором М. Посмотрим, можно ли понять, почему так происходит.
Сначала возьмем цилиндрический стержень, равномерно намагниченный параллельно его оси. Мы знаем, что физически такая равномерная намагниченность означает на самом деле однородную повсюду внутри материала плотность атомных циркулирующих токов. Попытаемся представить себе, как выглядят эти реальные токи в поперечном сечении стержня. Мы ожидаем увидеть токи, напоминающие изображенные на фиг.36.2.
Фиг.36.2. Схематическая диаграмма циркулирующих атомных токов в поперечном сечении железного стержня, намагниченного в направлении оси z.
Каждый атомный ток течет по кругу, образуя крохотную цепь, причем все циркулирующие токи текут в одном и том же направлении. Каким же тогда будет эффективный ток? В большей части стержня он, конечно, не дает вообще никакого эффекта, ибо рядом с каждым током есть другой ток, текущий в противоположном направлении. Если представить себе небольшую поверхность, показанную на фиг. 36.2 линией АВ, которая, однако, чуть-чуть толще отдельного атома, то полный ток через такую поверхность должен быть равен нулю. Внутри материала никакого тока нет. Однако обратите внимание, что на поверхности материала атомные токи не компенсируются соседними токами, текущими в другом направлении. Поэтому по поверхности все время в одном направлении вокруг стержня течет ток. Теперь вам понятно, почему я утверждал, что равномерно намагниченный стержень эквивалентен соленоиду с текущим по нему электрическим током.