Проблема «нехватки» атома в одном из рядов сложнее, чем может показаться при рассматривании фиг. 30.11.
Когда слоев больше, ситуация скорее походит на то, что изображено на фиг. 30.13.
Фиг. 30.13. Дислокация в кристалле.
Подобный дефект в кристалле называют дислокацией. Считается, что такие дислокации возникают при образовании кристалла или же в результате царапины или трещины на его поверхности. Раз возникнув, они довольно свободно могут проходить сквозь кристалл. Большие нарушения возникают из-за движения множества таких дислокаций.
Дислокации могут свободно передвигаться. Это значит, что для них требуется немного дополнительной энергии, если только весь остальной кристалл имеет совершенную решетку. Но они могут и «застыть», встретив какой-нибудь другой дефект в кристалле. Если для прохождения дефекта требуется много энергии, они остановятся. Это и есть тот механизм, который сообщает прочность несовершенным кристаллам металла. Кристаллы чистого железа совсем мягкие, но небольшая концентрация атомов примесей может вызвать достаточное количество дефектов, чтобы противостоять дислокациям. Как вы знаете, сталь, состоящая в основном из железа, очень тверда. Чтобы получить сталь, при плавке к железу примешивают немного углерода; при быстром охлаждении расплавленной массы углерод выделяется в виде маленьких зерен, образуя в решетке множество микроскопических нарушений. Дислокации уже не могут свободно передвигаться, и металл становится твердым.
Чистая медь очень мягкая, но ее можно «закалить» наклепом. Это делается отбиванием или сгибанием ее в одну и другую стороны. В таком случае образуется много различных дислокаций, которые взаимодействуют между собой и ограничивают подвижность друг друга. Быть может, вы видели фокус, когда берут кусочек «мягкой» меди и легко обвивают чье-нибудь запястье в виде браслета. В тот же момент медь становится закаленной и разогнуть ее становится очень трудно! «Закаленный» металл типа меди можно снова сделать мягким с помощью отжига при высокой температуре. Тепловое движение атомов «размораживает» дислокации и вновь создает отдельные большие кристаллы. О дислокациях можно рассказывать очень много. Так, до сих пор мы описывали только так называемые «дислокации скольжения» (краевые дислокации). Существует еще множество других видов, в частности винтовая дислокация, изображенная на фиг. 30.14.
Фиг. 30.14. Винтовая дислокация.
Такие дислокации часто играют важную роль в росте кристаллов.
§ 8. Дислокации и рост кристаллов
Одну из величайших загадок природы долгое время представлял процесс роста кристаллов. Мы уже описывали, как атом, многократно примериваясь, может определить, где ему лучше — в кристалле или снаружи. Но отсюда следует, что каждый атом должен найти положение с наименьшей энергией. Однако атом, попавший на новую поверхность, связан только одной-двумя связями с нижними атомами, и его энергия при этом не равна энергии того атома, который попал в угол, где он окружен атомами с трех сторон. Вообразим растущий кристалл как набор из кубиков (фиг. 30.15).
Фиг. 30.15. Схематическое представление роста кристалла.
Если мы поставим новый кубик, скажем, в положение А, он будет иметь только одного из тех шести соседей, какими он в конце концов будет окружен. А раз не хватает стольких связей, то и энергия его не будет очень низкой. Более выгодно положение В, где кристалл уже имеет половину своей доли связей. И действительно, кристаллы растут, присоединяя новые атомы к участкам типа В.
Но что произойдет, когда данный ряд завершится? Чтобы начать новый ряд, атом должен осесть, имея связь с двух сторон, а это опять же маловероятно. Даже если он осядет, что произойдет, когда весь слой будет завершен? Как мог бы начаться новый слой? Один из возможных ответов — кристалл предпочитает расти по дислокации, например по винтовой дислокации, вроде той, что показана на фиг. 30.14. По мере прибавления кубиков к этому кристаллу всегда остается место, где можно получить три связи. Следовательно, кристалл предпочитает расти с встроенной внутрь дислокацией. Иллюстрацию такого спирального роста представляет собой фотография монокристалла парафина (фиг. 30.16).
Фиг. 30.16. Кристалл парафина, выросший вокруг винтовой дислокации.
§ 9. Модель кристалла по Брэггу и Наю
Мы, разумеется, не можем увидеть, что происходит с отдельными атомами в кристалле. Как вы теперь понимаете, существует еще множество сложных явлений, которые трудно описать количественно. Лоуренс Брэгг и Дж. Най придумали модель металлического кристалла, которая удивительным образом моделирует множество явлений, возникающих, по-видимому, в реальном металле. Лучше всего прочесть эту работу самим; в ней описан и сам метод, и полученные с его помощью результаты [статья была напечатана в Proceedings of the Royal Society of London, 190, 474 (1947)] .
* В сокращенном виде она помещена в конце этого выпуска, — Прим. ред.
* Литература: Ch. Кittel, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Имеется перевод: Ч.Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, М., 1962.)
Глава 31
ТЕНЗОРЫ
§1. Тензор поляризуемости
§2. Преобразование компонент тензора
§3. Эллипсоид энергии
§4. Другие тензоры; тензор инерции
§5. Векторное произведение
§6. Тензор напряжений
§7. Тензоры высших рангов
§8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса
Повторить: гл. 11 (вып. 1)
«Векторы»; гл. 20 (вып. 2)
«Вращение в пространстве»
§ 1. Тензор поляризуемости
У физиков есть привычка брать простейший пример какого-то явления и называть его «физикой», а примеры посложнее отдавать на растерзание других наук, скажем прикладной математики, электротехники, химии или кристаллографии. Даже физика твердого тела для них только «полуфизика», ибо ее волнует слишком много специальных вопросов. По этой-то причине мы в наших лекциях откажемся от множества интересных вещей. Например, одно из важнейших свойств кристаллов и вообще большинства веществ — это то, что их электрическая поляризуемость различна в разных направлениях. Если вы в каком-либо направлении приложите электрическое поле, то атомные заряды слегка сдвинутся и возникнет дипольный момент; величина же этого момента зависит очень сильно от направления приложенного поля. А это, конечно, усложнение. Чтобы облегчить себе жизнь, физики начинают разговор со специального случая, когда поляризуемость во всех направлениях одинакова. А другие случаи мы предоставляем другим наукам. Поэтому для наших дальнейших рассмотрении нам совсем не понадобится то, о чем мы собираемся говорить в этой главе.
Математика тензоров особенно полезна для описания свойств веществ, которые изменяются с направлением, хотя это лишь один из примеров ее использования. Поскольку большинство из вас не собираются стать физиками, а намерены заниматься реальным миром, где зависимость от направления весьма сильная, то рано или поздно, но вам понадобится использовать тензор. Вот, чтобы у вас не было здесь пробела, я и собираюсь рассказать вам про тензоры, хотя и не очень подробно. Я хочу, чтобы ваше понимание физики было как можно более полным. Электродинамика, например, у нас вполне законченный курс; она столь же полна, как и любой курс электричества и магнетизма, даже институтский. А вот механика у нас не закончена, ибо, когда мы ее изучали, вы еще не были столь тверды в математике и мы не могли обсуждать такие разделы, как принцип наименьшего действия, лагранжианы, гамильтонианы и т. п., которые представляют наиболее элегантный способ описания механики. Однако полный свод законов механики, за исключением теории относительности, у нас все же есть. В той же степени, как электричество и магнетизм, у нас закончены многие разделы. Но вот квантовую механику мы так и не закончим; впрочем, нужно что-то оставить и на будущее! И все же, что такое тензор, вам все-таки следует знать уже сейчас.