Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

В гл. 30 мы подчеркивали, что свойства кристаллического вещества в разных направлениях различны — мы говорим, что оно анизотропно. Изменение индуцированного дипольного момента с изменением направления приложенного электрического поля — это только один пример, но именно его мы и возьмем в качестве примера тензора. Будем считать, что для заданного направления электрического поля индуцированный дипольный момент единицы объема Р пропорционален напряженности прикладываемого поля Е. (Для многих веществ при не слишком больших Е это очень хорошее приближение.) Пусть константа пропорциональности будет α. Теперь мы хотим рассмотреть вещества, у которых а зависит от направления приложенного поля, например известный вам кристалл турмалина, дающий удвоенное изображение, когда вы смотрите через него.

Предположим, мы обнаружили, что для некоторого выбранного кристалла электрическое поле Е_1; направленное по оси х, дает поляризацию Р₁, направленную по той же оси, а одинаковое с ним по величине электрическое поле Е₂, направленное по оси у, приводит к какой-то другой поляризации Р₂, тоже направленной по оси у. А что получится, если электрическое поле приложить под углом 45°? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей х и y, то поляризация Р равна сумме векторов P₁ и Р₂, как это показано на фиг. 31.1, а.

Фиг. 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

Поляризация уже не параллельна направлению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так происходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны. Если же сила приложена под углом 45°, то эти заряды более охотно движутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии внутренних упругих сил перемещение идет не по направлению внешней силы. Разумеется, угол 45° ничем не выделен. То, что индуцированная поляризация не направлена по электрическому полю, справедливо и в общем случае. Перед этим нам просто «посчастливилось» выбрать такие оси х и у, для которых поляризация Р была направлена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле Е₂, направленное по оси y, вызвало бы поляризацию как по оси у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызванная полем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и y-компоненты. Так что вместо фиг. 31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,6. Но несмотря на все это усложнение, величина поляризации Р для любого поля Е по-прежнему пропорциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

Р_x =a_xxE_x, Р_у=a_ухЕ_х, Р_z=a_zxЕ_x. (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направленное по оси х, создает поляризацию не только в этом направлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Р_х, Р_yи P_z, каждая из которых пропорциональна Е_х. Коэффициенты пропорциональности мы назвали a_хх, a_ухи a_zx (первый значок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать

Р_х=a_хуЕ_y, Р_у=a_ууЕ_у, Р_z=a_гуЕ_у, (31.2)

а для поля в z-направлении

P_x=a_xzE_z, P_y=a_yzE_z P_z=a_zzE_z. (31,3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то x-компонента поляризации Р будет суммой двух Р_х, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то составляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, полностью описываются девятью величинами (a_xx,, a_xy,,a_xz,a_yz , ...), которые можно записать в виде символа a_ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электрическое поле Е можно разложить на составляющие Е_x, Е_yи Е_z. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a_ijи найти Р_х, Р_y и P_z, которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов a_ijназывается тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины (Е_х, Е_у, Е_z) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин (a_хх, a_ху, ...)«образуют тензор a_ij».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_х', Е_у', Е_г'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a_ijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изменяться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в новой системе координат, мы должны получить ту же самую поляризацию Р. Для любой новой системы координат P_x' будет линейной комбинацией Р_х, Р_y' , и Р_z':