Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна
Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/a3 атомов, то w и U0связаны соотношением
w=U 0 /2a 3 .
2а3
Чтобы найти упругие постоянные Cijkl, нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при еijеklссоответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е2xxи е2yy , мы находим, что множитель при нем равен
поэтому
В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения еххеyyот еyyехх, то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при еххеyyв уравнении (39.45) равен 2k2, так что получаем
Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что Скхуу=Суухх, поэтому
Таким же способом можно получить
Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:
Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k1 и k2. В нашем частном случае Cхуxу=Cххуу.Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).
Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что Сxxyy , вообще говоря, не равно Сxyxy . Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные Сxxyyи Сxyxy у них почти равны.
Таблица 39.2 · упругие постоянные
КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ
Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию Сххуу=Cxyxy..
* В литературе вы часто столкнетесь с другими обозначениями. Так, многие пишут:
* Пластик с мудреным названием «поливинилиденхлорид», применяемый для обертки.— Прим. ред.
* Предположим на минуту, что полный угол сдвига q делится на две равные части, чтобы деформация была симметричной относительно осей x и y.
Литература: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Имеется перевод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, М., 1962.)
Глава 40
ТЕЧЕНИЕ «СУХОЙ» ВОДЫ
§ 1. Гидростатика
§ 2. Уравнение движения
§ 3. Стационарный поток; теорема Бернулли
§ 4. Циркуляция
§ 5. Вихревые линии
§ 1. Гидростатика
Кого не пленяет течение жидкости, кто не любуется течением воды! Все мы в детстве любили плескаться в ванне или возиться в грязных лужах. Став постарше, мы восхищались плавным течением реки, водопадами и водоворотами; мы любуемся ими, рядом с твердыми телами они кажутся нам почти одушевленными.
Предметом этой и следующей глав будет поведение жидкости, столь неожиданное и столь интересное. Попытки ребенка преградить путь маленькому ручейку, текущему по улице, и его удивление перед тем, как вода умудряется все же пробить себе дорогу, напоминает наши многолетние попытки понять механизм течения жидкости. Мы пытались мысленно преградить путь воды дамбой, т. е. получить законы и уравнения, которые описывают поток. Рассказу об этих попытках и посвящена настоящая глава. А в следующей главе мы опишем тот уникальный способ, с помощью которого вода прорывает дамбу и ускользает от нас, не дав нам понять ее.
Я предполагаю, что элементарные свойства воды вам уже известны. Основное свойство, которое отличает жидкость от твердого тела, заключается в том, что жидкость не способна сдерживать ни мгновение напряжения сдвига. Если к жидкости приложить напряжение сдвига, то она начинает двигаться. Густые жидкости, подобные меду, движутся менее легко, чем жидкости типа воды или воздуха. Мерой легкости, с которой жидкость течет, является ее вязкость. В этой главе мы рассмотрим такие случаи, когда эффектом вязкости можно пренебречь. А эффекты вязкости отложим до следующей главы.
Начнем с рассмотрения гидростатики, т. е. теории неподвижной жидкости. Если жидкость находится в покое, то на нее не действуют никакие сдвиговые силы (даже в вязкой жидкости). Поэтому закон гидростатики заключается в том, что напряжения внутри жидкости всегда нормальны к любой ее поверхности. Нормальная сила на единичную площадь называется давлением. Из того факта, что в неподвижной жидкости нет сдвигов, следует, что напряжение давления во всех направлениях одинаково (фиг. 40.1).
Фиг. 40.1. В неподвижной жидкости сила, действующая на единичную площадь любой поверхности, перпендикулярна этой поверхности и при любых ориентациях поверхности одна и та же.
Займитесь самостоятельно доказательством того, что если на любой плоскости в жидкости сдвиг отсутствует, то давление во всех направлениях должно быть одинаковым.