Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

L = Iw.

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость со и момент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления to и L, вообще говоря, не совпадают (фиг. 31.4).

Фиг. 31.4. Момент количества движения Lтвердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости w.

Они связаны точно таким же образом, как Е и Р, т. е. мы должны писать:

Девять коэффициентов I_ij называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент w_x, w_y и w_z:

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. I_ij=I_ji.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией ¹/₂mv², а полная кинетическая энергия равна просто сумме

S¹/₂mv²

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна

к. э.=S¹/₂m(wX г)². (31.18)

Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты w_х, w_y , w_z и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем I_ij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что I_xx, например, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).

Ну а поскольку r² =x²+y²+z², то эту же формулу можно написать в виде

I_xx=Sm(r²-x²). Выписав остальные члены тензора инерции, получим

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:

где через r_i обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью w:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы определили там «момент силы, действующий в плоскости», например t_xy, следующим образом:

t_xy=xF_y-yF_x.

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

t_ij=r_iF_j-r_jF_i. (31.22)

Как видите, величина t_ij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть t_ij с каким-то вектором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то t_ijдолжен преобразовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для t_ij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что t_ij-— действительно тензор.

Однако t_ijпринадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

t_ij=-t_ji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: t_xy, t_yz и t_zz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(t_x,. t_y, t_z) = (t_yz, t_zx, t_xy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить вектором, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор t==rXF является тензором, по тем же соображениям тензором будет и любое векторное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять величин a_ib_jобразуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора положения r величины r_ir_jявляются тензором, а поскольку d_ij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действительно является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сейчас я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже говорили немного о подобных напряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были действовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендикулярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуемся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, расположенной в этой плоскости.