Фейнмановские лекции по физике 7

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единичный вектор нормали к грани N, а через F_n — действующую на нее силу, тогда получим

DF_xn=S_xxDyDz+S_xyDxDz.

Составляющая напряжения по оси х (S_xn), действующего в этой плоскости, равна силе DF_xn, деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx²+Dy²), или

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Dх/Ц(Dx²+Dy²) — это косинус угла q между n и осью у и может быть записан как п_у, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, Dy/Ц(Dx²+Dy²) равно sinq=n_х. Поэтому мы можем написать

S_xn=S_xxn_x+S_xyn_y

рели теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

S_xn= S_xxn_x+S_xyn_y+S_xzn_z,

или в еще более общей форме:

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы S_ij и полностью описать внутреннее напряжение.

Уравнение (31.24) говорит, что тензор S_ij связывает силу S_n с единичным вектором n точно так же, как a_ij связывает Р с Е. Но поскольку n и S_n — векторы, то компоненты S_ij при изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что S_ij действительно тензор.

Можно также доказать, что S_ij симметричный тензор. Для этого нужно обратить внимание на силы действующие на маленький кубик материале. Возьмем кубик, rpaни которого параллельны осям координат, и посмотрим на eго разрез (фиг. 31.9).

Фиг. 31.9. х- и у-компоненты сил, действующих на четыре грани маленького единичного кубика.

Если допустить что ребра куба равны единице, то х- и y-компоненты сил на гранях, перпендикулярных к осям х и у, должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как это показано на рисунке. Заметьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент си иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительно центра равен произведению (S_yx-S_xy) на единичную длину ребра куба, а поскольку полный момент равен нулю, то S должно быть равно S_xy, и тензор напряжений, таким образом, оказывается симметричным.

Благодаря этой симметрии тензора S_ij его можно то; описывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим: осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в направлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никак сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении действуют только нормальные силы. Это соответствует гидростатическому давлению (положительному или отрицательном. Таким образом, для гидростатического давления тензор диагонален, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем написать

(31.25)

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компоненту S_ij как функцию положения. Тензор напряжений, таким образом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных полей, подобных температуре Т(х, у, z), и векторных полей, подобных Е(х, у, z), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задаваемого в каждой точке пространства девятью числами, из которых для симметричного тензора S_ij реально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твердом теле требует знания шести функций координат х, у и z.