Фейнмановские лекции по физике 7

§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений S_ij описывает внутренние силы в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформации удобно описывать с помощью другого тензора T_ij— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подобного бруску из металла, изменение длины DL, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука

DL=gF.

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций T_ij связан с тензором напряжений S_ij системой линейных уравнений

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами g_ijkl. Это знакомит нас с новым зверем — тензором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений — х, у или z, то всего оказывается 3⁴=81 коэффициент. Но различны из них на самом деле только 21. Во-первых, поскольку тензор S_ij симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить S_ij и S_kl, так что g_ijkl должно быть симметрично при перестановке пары индексов ij и kl. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.

В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты g_ijkl не должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры d_ij. Но существует лишь два возможных выражения, имеющих требуемую симметрию,— это d_ijd_kl и d_ikd_jl+d_il+d_jk, так что g_ijkl должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала

g_ijkl =а(d_ijd_kl) + b(d_ikd_jl+d_ild_jk);

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, требуются две постоянные: а и b. Я предоставляю вам самим доказать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При напряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

где e_i— электрическое поле, a P_ijk— пьезоэлектрические коэффициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном пространстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F_mv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, правда, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Лоренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «пространстве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)