Фейнмановские лекции по физике 7

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть другой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относительности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то определяли S_ij как компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «S_xy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «S_xy — это скорость потока x-компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член S_ij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора S_mv в четырехмерном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополнительные компоненты S_tx, S _yt, S_tt и т. п. Попытаемся теперь выяснить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «потоку» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность текущего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотностью заряда j_t=r и получить четырехвектор j_m=(r, j), т. е. значок m у вектора j_m принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c S_xx,S_xy и S_xz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента S_xt , которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е. S_xt должна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

S_xt — плотность x-компоненты импульса,

S_xx — поток z-компоненты импульса в направлении оси х,

S_xy — поток y-компоненты импульса в направлении оси у,

S_xz — поток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S_yx , S_yy и S_yz , к которым нужно добавить четвертый член:

S_yt — плотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам S_zx, S_zy и S_zz мы добавляем

S_zt — плотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор S_ij следует продолжить по вертикали с включением в него S_tx, S_ty и S_tz, причем