Фактически превышение силы Эйлера вовсе не означает, что после этого балка полностью разрушится. Когда отклонение становится большим, сила благодаря члену (dz/dx)2 в уравнении (38.38), которым мы пренебрегли, будет на самом деле больше вычисленной. Чтобы найти силы при большом продольном изгибании стержня, мы должны вернуться к точному уравнению (38.44), которое получалось до использования приближенной связи между R и y.
Уравнение (38.44) имеет довольно простые геометрические свойства. Решается оно немного сложнее, но зато гораздо интереснее. Вместо того чтобы описывать кривую через х и у, можно воспользоваться двумя новыми переменными:
S — расстоянием вдоль кривой и
q— наклоном касательной к кривой (фиг. 38.17.)
Фиг. 38.17. Координаты кривой продольно изогнутой балки S и q.
Тогда кривизна будет равна скорости изменения угла с расстоянием
Поэтому точное уравнение (38.44) можно записать в виде
После взятия производной этого уравнения по S и замены dy/dS на sinq получим
[Если углы q малы, то мы снова приходим к уравнению (38.45), стало быть здесь все в порядке.
Не знаю, можете ли вы еще удивляться, но уравнение (38.47) получилось в точности таким же, как и для колебаний маятника с большой амплитудой (разумеется, с заменой F/YI другой постоянной). Еще раньше, в гл. 9 (вып. 1), мы узнали, как находить решение такого уравнения численным методом. В ответе вы получите очаровательную кривую. На фиг. 38.18 показаны три кривые для разных значений постоянной F/YI.
* Кстати, точно такое же уравнение возникает и в других физических ситуациях: например, в мениске на поверхности жидкости, заключенной между двумя параллельными стенками, а поэтому можно воспользоваться тем же самым геометрическим рассмотрением.
* Решение его можно выразить также через особые функции, называемые «эллиптическими функциями Якоби», которые когда-то раз навсегда были вычислены и протабулированы.
* Это и есть момент инерции пластинки единичной плотности и с единичной площадью сечения
Глава 39
УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ
§ 1.Тензор деформации
§ 2.Тензор упругости
§ З. Движения в упругом теле
§ 4. Неупругое поведение
§ 5. Вычисление упругих постоянных
§ 1. Тензор деформации
В предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел — компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.
Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(x, у, z), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение r'=(х', у', z'), как это показано на фиг. 39.1.
Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации перемещается в точку Р'.
Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точку Р', т. е.
u = r'-r. (39.1)