Фейнмановские лекции по физике 7

Перемещение и зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от г или от (х, у, z).

Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2).

Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.

Перемещение u_x пятнышка с координатой х пропорционально самому х.

Действительно,

Мы будем записывать u_x следующим образом:

и_x=е_ххх.

Разумеется, константа пропорциональности е_хх— это то же, что наше старое отношение Dl/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Если же деформация неоднородна, то связь между х и u_x в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е_хх как своего рода локальную величину Dl/l, т. е.

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3).

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

При такой деформации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

а перемещение в направлении у пропорционально х:

u_y=(q/2)x. (39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

u_x=e_xyy u_у=e_yxx,

где

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины е_xy и е_yx следующим образом:

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения u_х и u_y имеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u_y стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол q/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если дu_y/дх и дu_x/ду равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е_ху=е_уx.

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е_ху всегда равно е_ух), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — векторы, то С_ij=А_iВ_j — тензор.) А каждое наше e_ij есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора