Фейнмановские лекции по физике 7

u=(u_х, u_у, u_z) и оператора С=(д/дx,д/дy,д/дz), который, как

мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x₁, x₂ и x₃, а вместо u_х, u_y и u_г писать u₁, u₂ и u₃; тогда общий вид элемента тензора e_ij будет выглядеть так:

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e_ij — постоянные, и мы можем написать

u_х=е_ххх+е_хуy+е_хzг. (39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e_ij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u=(u_х, u_у, u_г).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

где w_ij, — антисимметричный тензор

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором е_ij.

§ 2. Тензор упругости

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S_ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S_ij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9X9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C_ijkl определив посредством уравнения

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С_ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C_ijkl известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F=kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx²/2. Подобным же образом энергия w, запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной