Cхххх=Cххуу+Cхуху (39.19)
Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений Sij должен быть связан с eij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ получить Sij из eij — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: Sij=(Постоянная)Xеij». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор dij, умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с еij. Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е,— это Sejj. (Он преобразуется подобно х2+y2+z2, а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего Sij с eij для изотропного материала, будет
(Первая константа обычно записывается как 2m; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные (m, и l называются упругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что
Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.
Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона s. На вашу долю оставляю показать, что
§ 3. Движения в упругом теле
Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равновесии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не уравновешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).
Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V, ограниченный поверхностью А,
Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действующая на него сила F должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обусловлена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема fвнешн. Полная же внешняя сила Fвнешн равна интегралу от fвнешн по всему объему кусочка:
В равновесии эти силы балансируются полной силой Fвнутр, действующей по поверхности А со стороны окружающего материала. Когда же этот кусочек не находится в равновесии, а движется, сумма внутренних и внешних сил будет равна произведению массы на ускорение. При этом мы получаем
где r—плотность материала, а а — его ускорение. Теперь мы можем скомбинировать уравнения (39.23) и (39.24) и написать
Нашу запись можно упростить, положив
Тогда уравнение (39.25) запишется в виде
Величина, названная нами Fвнутр, связана с напряжениями в материале. Тензор напряжений Sij был определен нами в гл. 31 таким образом, что x-компонента силы dF, действующей на элемент поверхности da с нормалью n, задается выражением
Отсюда х-компонента силы Fвнутр, действующей на наш кусочек, равна интегралу от dFx по всей поверхности. Подставляя это в x-компоненту уравнения (39.27), получаем