а С'-и С —формулой
где l, и m — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между S и Т.
В данный момент единственное, что мы можем сказать про lи m,— это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и S ориентированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не приводит. По той же причине всегда можно добавить к lи mлюбое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать lи mравными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять
Тогда
Итак, мы договоримся считать m=-l и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси z на какой-то угол приводит к преобразованию
Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.
Теперь надо узнать закон, связывающий X с углом между S и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и l — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг l, есть непрерывная функция угла j между S и Т (см. фиг. 4.4) при j, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разумное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии S на малый угол e, то и lтоже будет малым числом, скажем me, где m — некоторый коэффициент. Мы пишем те, потому что можем доказать, что l обязано быть пропорционально e. Если бы мы поставили за T новый прибор Т, тоже образующий с Т угол e, а с S тем самым образующий угол 2e, то по отношению к Т мы бы имели
а по отношению к T'
Но мы знаем, что, должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т'!Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естественно, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что К пропорционально j для любого угла j. Поэтому всегда можно писать l=mj.
Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси z относительно S на угол j,
Для угла j и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается в положительном направлении z.
Теперь остается узнать, каким должно быть m. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С'+=С+и С'-= С-, или, что то же самое, eim2p=1. Мы получаем m=1. Это рассуждение не годится!
Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если бы т было равно единице, мы получили бы
Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту умножены на -1; это возвращает нас к исходной физической системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это означает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U. Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (-х) начального прибора S. Так что состояние (+x) станет состоянием (-х). Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы т=1.
Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m =1/2. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол φ=360°. При этом будет
Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды С+и С-для частиц со спином 1/2 по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, связанную с Т (Т получается из S поворотом на j относительно оси z), то новые амплитуды выражаются через старые так:
§ 4. Повороты на 180° и па 90° вокруг оси у
Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота Т (по отношению к S) на 180° вокруг оси, перпендикулярной к оси z, скажем вокруг оси у. (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, Т, переворачивается относительно первого, S, «вверх ногами» (фиг. 4.6).
Фиг. 4.6. Поворот на 180° вокруг оси у.
Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (+S) (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к Г в минус-состоянии. (В перевернутом приборе Т переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, что для S было «верхом», то для Т будет «низом». Для такого относительного расположения S и Т преобразования, естественно, должны дать
Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может оказаться, что
где b и g еще подлежат определению.
А что можно сказать о повороте вокруг оси у на угол 360° Мы уже знаем ответ для поворота на 360° вокруг оси z: амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на 360° вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на 360° должен быть таким же, как и при повороте на 360° вокруг оси z,—все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на 180° вокруг оси у по формуле (4.20); после них должен получиться результат (4.18). Иными словами,