С помощью этих наших базисных состояний можно описать любое состояние |j> нашего одномерного кристалла, задав все амплитуды <n|j> того, что состояние |j> находится в одном из базисных состояний, т. е. амплитуду того, что электрон расположен близ данного частного атома. Тогда состояние |j> можно записать в виде суперпозиции базисных состояний:
Кроме того, мы хотим еще предположить, что когда электрон находится близ одного из атомов, то имеется некоторая амплитуда того, что он просочится к тому атому, что слева, или к тому, что справа. Возьмем простейший случай, когда считается, что он может просочиться только к ближайшим соседям, а к следующему соседу он сможет дойти в два приема. Примем, что амплитуды того, что электрон перепрыгнет от одного атома к соседнему, равны iA/h (за единицу времени).
Изменим на время обозначения, и амплитуду <n|j>, связанную с n-м атомом, обозначим через Сn. Тогда (11.1) будет иметь вид
Если бы вы знали каждую из амплитуд Сnв данный момент, то, взяв квадраты их модулей, можно было бы получить вероятность того, что вы увидите электрон, взглянув в этот момент на атом п.
Но что сталось бы чуть позже? По аналогии с изученными нами системами с двумя состояниями мы предлагаем составить гамильтоновы уравнения для этой системы в виде уравнений такого типа:
Первый справа коэффициент Е0физически означает энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от одного атома к другим. (Совершенно неважно, что мы назовем , Е0; мы неоднократно видели, что реально это не означает ничего, кроме выбора нуля энергии.) Следующий член представляет амплитуду в единицу времени того, что электрон из (n+1)-й ямки просочится в n-ю ямку, а последний член означает амплитуду просачивания из (n-1)-й ямки. Как обычно, А считается постоянным (не зависящим от t).
Для полного описания поведения любого состояния |j> надо для каждой из амплитуд Сnиметь по одному уравнению типа (11.3). Поскольку мы намерены рассмотреть кристалл с очень большим количеством атомов, то допустим, что состояний имеется бесконечно много, атомы тянутся без конца в обе стороны. (При конечном числе атомов придется специально обращать внимание на то, что случается на концах.) А если количество N наших базисных состояний бесконечно велико, то и вся система наших гамильтоновых уравнений бесконечна! Мы напишем только часть ее:
§ 2. Состояния определенной энергии
Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде
Комплексное число аnговорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле n-го атома. Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11.4), то получим
Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных аn! Ситуация тяжелая!
Но мы знаем, что надо только взять детерминант... нет, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детерминантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем положения атомов; будем считать, что n-йатом находится в хn, а (n+1)-й— в хn+1. Если расстояние между атомами равно b (как на фиг. 11.1), то хn+1=хn+b. Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить хn=nb. Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде
а уравнение (11.6) превратится в
Пользуясь тем, что xn+1=xn+b, это выражение можно также записать в виде
Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина а(х) в точке хnсвязана с той же физической величиной в соседних точках хn±b. (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных уравнений? Попробуем.
Решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты. Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем
Тогда (11.9) обратится в
Сократим на общий множитель
Два последних члена равняются 2Аcoskb, так что
E=E0-2Acoskb. (11.13)
Мы обнаружили, что при любом выборе постоянной k имеется решение, энергия которого дается этим уравнением. В зависимости от k получаются различные возможные энергии, и каждая k соответствует отдельному решению. Решений бесконечно много, но это и не удивительно, ведь мы исходим из бесконечного числа базисных состояний.
Посмотрим, каков смысл этих решений. Для каждой k уравнение (11.10) дает свои а. Тогда амплитуды обращаются в
причем нужно помнить, что энергия Е также зависит от k в согласии с уравнением (11.13). Множитель
При этом имейте в виду, что колебания амплитуды в пространстве комплексны, модуль ее вблизи любого атома один и тот же, а фаза (в данный момент) от атома к атому сдвигается на ikb. Чтобы можно было видеть, что происходит, поставим у каждого атома вертикальную черточку, равную вещественной части амплитуды (фиг. 11.2).
Фиг. 11.2. Изменение вещественной части С n с х n .
Огибающая этих вертикалей (показанная штрихованной линией) является, конечно, косинусоидой. Мнимая часть Сn — это тоже колеблющаяся функция, но она сдвинута по фазе на 90° , так что квадрат модуля (сумма квадратов вещественной и мнимой частей) у всех С один и тот же.
Итак, выбирая k, мы получаем стационарное состояние с определенной энергией Е. И в каждом таком состоянии электрону одинаково вероятно оказаться около любого из атомов, никаких преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому меняется только фаза. Фазы меняются еще и со временем. Из (11.14) следует, что вещественная и мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как вещественная и мнимая части выражения