Тогда в пределе, когда b стремится к нулю, а b2A поддерживается равным h2/2mэфф, уравнение (14.7) переходит в
Перед нами уравнение, утверждающее, что скорость изменения С(х) — амплитуды того, что электрон будет обнаружен в х— зависит от амплитуды того, что электрон будет обнаружен в близлежащих точках так, что эта скорость пропорциональна второй производной амплитуды по координате.
Правильное квантовомеханическое уравнение движения электрона в пустом пространстве впервые было открыто Шредингером. При движении по прямой оно имеет вид (14.12); надо только mэфф заменить на m — массу электрона в пустом пространстве. При движении по прямой в пустом пространстве уравнение Шредингера имеет вид
Мы не хотим, чтобы вы считали, будто мы сейчас вывели уравнение Шредингера; мы только показываем вам один из способов, каким его можно осмыслить. Когда Шредингер впервые написал его, он привел какой-то вывод, опиравшийся на эвристические доводы и блестящие интуитивные догадки. Некоторые из его доводов были даже неверны, но это не имело значения; важно то, что окончательное уравнение дает правильное описание природы. И цель нашего обсуждения состоит просто в том, чтобы показать вам, что правильное фундаментальное квантовомеханическое уравнение (14.13) имеет ту же самую форму, какая получается в предельном случае электрона, движущегося вдоль цепочки атомов. Это значит, что можно считать, что дифференциальное уравнение (14.13) описывает диффузию амплитуды вероятности от точки к точке вдоль прямой. Иначе говоря, если электрон имеет некоторую амплитуду того, что он будет в одной точке, то чуть позже у него появится амплитуда того, что он будет в близлежащих точках. Уравнение действительно напоминает уравнения диффузии, которыми мы пользовались в начале курса. Но есть и одно важное отличие: мнимый коэффициент перед производной по времени приводит к поведению, в корне отличному от обычной диффузии (например, от диффузии газа, распространяющегося по длинной трубе). Обычная диффузия приводит к действительным экспоненциальным решениям, а решения (14.13) суть комплексные волны.
§ 2. Волновая функция
Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.
Начнем с того, что вектором состояния |х>обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния |х>в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |y>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний |x>. Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого х. Запишем их в виде <x|y>. Каждая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда <x|y> является в действительности просто функцией х. Запишем ее также в виде С (х):
Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x, такова:
<x|y> = С (x) ~e+ipx/h. (14.15)
Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний |х>.
Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |y>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем Сy(х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом y для определения функции
Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что y теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) yобозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ yприменяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию y (х)обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.
Раз мы определили y (х)как амплитуду того, что электрон в состоянии y обнаружится в точке х, то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины y как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей, которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, Dх) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале Dх: возле точки х. Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой Dх; будет пропорциональна Dх. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда <x|y> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний |х> 1 в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить