iэлектрон в узком интервале Dх вблизи х должна быть пропорциональна длине интервала Dх, мы выберем такое определение <х |y>, чтобы соблюдалось следующее условие: Вер. (х, Dх)=| <x|y|>|2Dх. Амплитуда <x|y> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии yбудет обнаружен в базисном состоянии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды <x|y> дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно писать и так:
Вер. (x, Dх)=| y (х)|2 Dх. (14.17)
Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |y>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии |y>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать
А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на Dx, а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:
Амплитуда <x|y> — это то, что мы теперь называем y (х); точно так же амплитуду <x|y> мы обозначим j(х). Вспоминая, что <j|x> комплексно сопряжена с <x|j>, мы можем (14.18) переписать в виде
При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по х.
К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния |x>, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.
§ 3. Состояния с определенным импульсом
Пусть у нас имеется электрон в состоянии |y>, описываемом амплитудой вероятности (х|y>=y (х). Мы знаем, что y (х)обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна
Вер. (х, dx)=|y (х)|2dx.
Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен р? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние |y> присутствует в другом состоянии | имп. p>, которое мы определим как состояние с определенным импульсом р. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний |имп. p>
А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс р, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения р. Вероятность того, что импульс в точности равен р, равна нулю (разве что состояние |y> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале dp возле значения р может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.
Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством
Это определение дает нам нормировку амплитуды <имп. р|x>. Амплитуда <имп. р|х>, естественно, комплексно сопряжена с амплитудой <х|имп. р>, а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентной как раз равен единице, т. е.
Тогда (14.21) превращается в
Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния |y>.
Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг х=0. Пусть мы взяли волновую функцию вида
Распределение вероятности иметь то или иное значение х для такой волновой функции дается ее квадратом
Функция плотности вероятности Р(х) — это кривая Гаусса, показанная на фиг. 14.1.
фиг. 14.1. Плотность вероятности для волновой функции (14.24).
Большая часть вероятности сосредоточена между х=+sи х=-s. Мы говорим, что «полуширина» кривой есть а. (Точнее, а равняется средней квадратичной координате х, если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент К следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р(х)не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины ж) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы Р(х)Dx равнялось вероятности обнаружить электрон в Dx вблизи х. Коэффициент К, при котором так и получается, можно найти из требования
\ Р (х) dx=1, потому что вероятность обнаружить электрон
где попало равна единице. Мы находим, что К = (2ps2)-1/4.
Теперь найдем распределение по импульсу. Пусть j(p)
есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным р:
Подстановка (14.25) в (14.24) дает
что можно также переписать в форме
Сделаем теперь замену
Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:
Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по р имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по х, только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так: