Многие законы физики (но не все) не меняются при отражении или инверсии координат. Они симметричны по отношению к инверсии. Законы электродинамики, например, не изменяются, если мы меняем x на -х, у на -у и z на -z во всех уравнениях. То же относится и к законам тяжести, и к сильным взаимодействиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за b-распад, нет такой симметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).] Но мы сейчас пренебрежем b-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, b-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем испускание света атомом), гамильтониан H^ и оператор Р^ будут коммутировать, В этих обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четность состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физической ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например, нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью. Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет положительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрицательной четности). Этот принцип именуется сохранением четности. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четности» и «симметрия относительно отражений» в квантовой механике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не так. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция b-pacпада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаруженной в других законах физики.
Теперь мы можем доказать интересную теорему (справедливую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно пренебрегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие состояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.)
Мы знаем, что если |y0> — состояние определенной энергии, то
где Е — просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор Q^, который является оператором симметрии для системы, то мы можем доказать, что
если только |y0> — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние |y0> которое вы получаете после действия Q^. Если вся физика симметрична, то |y'0> должно иметь ту же энергию, что и |y0>. Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно |y0>; значит, |y'0> должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой. Таково физическое доказательство.
Но то же последует и из нашей математики. Наше определение симметрии —это (15.10) или (15.11), справедливое для любого состояния |y>:
Но сейчас речь идет о состоянии |y0>, которое является состоянием с определенной энергией, так что Н^|y0>=Е|y0>. А раз Е — просто число, то оно попросту проходит сквозь Q^, и мы имеем
так что
Значит, |y'0>=Q^ ly0> — тоже состояние H^ с определенной энергией и при этом с тем же самым Е. Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, |y0> должно быть равно ёid|y0>.
Все, что мы только что доказали, относится к любому оператору Q^, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого b-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах Р^|y>=еid|y>. Но мы видели также, что еidобязано равняться либо +1, либо -1. Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положительной, либо отрицательной четностью.
§ 3. Законы сохранения
Обратимся теперь к другому интересному примеру операции симметрии — к повороту. Рассмотрим частный случай оператора, который поворачивает атомную систему на угол j вокруг оси z. Обозначим этот оператор R^z(φ). Предположим еще, что никаких влияний, выстроенных вдоль осей х и у, в нашем физическом случае нет. Все электрические или магнитные поля взяты параллельными оси z, так что никаких изменений во внешних условиях от поворота всей физической системы вокруг оси z не наступит. Например, если имеется атом в пустом пространстве и мы повернем этот атом вокруг оси z на угол j, то получим ту же физическую систему.
Тогда существуют особые состояния, обладающие тем свойством, что такая операция создает новое состояние, равное первоначальному, умноженному на некоторый фазовый множитель. Заметим, что когда это так, то изменение фазы обязано быть всегда пропорционально углу j. Представьте, что вы дважды захотели бы сделать поворот на угол j. Это равносильно тому, что повернуть на угол 2j. Если поворот на угол j имеет своим следствием умножение состояния |y0> на фазовый множитель eid, так что
то два таких поворота, один вслед за другим, привели бы к умножению состояния на множитель (еid)2=еi2d, так как
Изменение фазы d оказывается пропорциональным φ. Мы, стало быть, рассматриваем лишь те особые состояния |y0>, для которых
R^z(j)|y0> =eimj|y0>, (15.22)
где m — некоторое вещественное число.
Нам известен также тот примечательный факт, что если система симметрична относительно поворота вокруг z и если исходное состояние обладает тем свойством, что (15.22) окажется выполненным, то и позже у этого состояния сохранится то же свойство. Значит, это число m имеет большую важность. Если его значение мы знаем в начале, то мы знаем его и в конце. Это число m, которое сохраняется, есть константа движения. Причина, почему мы говорим об m, выталкиваем его на первый план, состоит в том, что оно не связано с каким-либо определенным углом j, и еще потому, что у него есть соответствие в классической механике. В квантовой механике мы выбираем для mh (в состояниях, подобных |y0>) название момент количества движения вокруг оси z. И тогда мы обнаруживаем, что в пределе больших систем та же величина равняется z-компоненте момента количества движения из классической механики. Значит, если мы имеем состояние, для которого поворот вокруг оси z приводит просто к фазовому множителю eimj, то перед нами состояние с определенным моментом количества движения вокруг этой оси, и момент количества движения сохраняется. Он навсегда остается равным mh. Конечно, повороты можно делать вокруг любых осей, и сохранение момента количества движения тоже будет получаться для любых осей. Вы видите, что сохранение момента количества движения связано с тем фактом, что, когда вы поворачиваете систему, вы получаете опять то же состояние, только с новым фазовым множителем.