дается новым оператором, который мы обозначим
нового оператора
Задачей нашей будет найти оператор
Прежде всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности,
Это всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения гамильтониана
Если мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно
Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по t. Поскольку каждое y зависит от t, мы имеем
Наконец, заменяя производные их выражениями (18.78) и (18.80), получаем
а это то же самое, что написать
Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что
Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора А.
Кстати заметим, что, если бы оператор А сам зависел от времени, мы бы получили
Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует х? Мы утверждаем, что это должно быть
Что это такое? Один способ установить, что это такое — перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором
. В этом представлении коммутатор равен
Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию y(х)и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите
Но это то же самое, что и
так что мы обнаруживаем, что
или что
Прелестный результат. Он означает, что если среднее значение х меняется со временем, то перемещение центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу т. Точно как в классической механике.
Другой пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры прежние. Оператор этой скорости равен
Опять все можно подсчитать в x-представлении. Напомним, что р^ обращается в d/dx, а это означает, что вам придется дифференцировать потенциальную энергию V (в
или
Опять классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но помните — это законы для операторов, которые дают средние величины. Они не описывают в деталях, что происходит внутри атома.
Существенное отличие квантовой механики в том, что р^х^ не равно х^р^. Они отличаются на самую малость — на маленькое число h. Но все поразительные сложности интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что х^р^-р^х^ не совсем нуль.
История этой идеи тоже интересна. С разницей в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику. Шредингер изобрел свою волновую функцию y(х)и нашел уравнение для нее, а Гейзенберг обнаружил, что природу можно было бы описывать и классическими уравнениями, лишь бы хр-рх было равно h/i, чего можно было добиться, определив их с помощью особого вида матриц. На нашем теперешнем языке он пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое — и матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Шредингера — объясняли атом водорода. Несколькими месяцами позднее Шредингер смог показать, что обе теории эквивалентны — мы только что это видели. Но две разные математические формы квантовой механики были открыты независимо.
* Во многих книжках для
* Уравнение (18.38) не означает, что |a>=x|y> [ср. (18.35)]. Сокращать на <х| нельзя, потому что множитель х перед <x|y> для каждого состояния <х| имеет свое значение. Это — значение координаты электрона в состоянии |х> [см. (18.40)].
* Можно выразить это и иначе. Какую бы функцию (т. е. состояние) вы ни выбрали, ее всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний, являющихся состояниями с определенной энергией. Поскольку в этой комбинации присутствует примесь состояний с более высокими энергиями, то средняя энергия окажется выше энергии основного состояния.
* Элемент объема мы обозначаем dОбъем. Он попросту равен dxdydz, а интеграл берется от -Ґ до +Ґ по всем трем координатам.
Глава 19
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В КЛАССИЧЕСКОМ КОНТЕКСТЕ.
СЕМИНАР ПО СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле
§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
§ 3. Два рода импульсов
§ 4. Смысл волновой функции
§ 5. Сверхпроводимость
§ 6. Явление Мейсснера
& 7. Квантование потока
§ 8. Динамика сверхпроводимости
§ 9. Переходы Джозефсона
§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле
Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людьми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и получится.
Но это не все. Главное — что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вынести ее на семинар. Тема эта — классический аспект уравнения Шредингера, явление сверхпроводимости.