Уравнение Шредингера для пары более или менее похоже на (19.3). Единственная разница состоит в том, что заряд q будет удвоенным зарядом электрона. Кроме того, мы не знаем инерции (или эффективной массы) пары в кристаллической решетке, поэтому неизвестно, какое число поставить вместо т. Не следует также считать, что если перейти к очень высоким частотам (или коротким волнам), то форма уравнения останется правильной, ведь кинетическая энергия, которая отвечает очень резко меняющимся волновым функциям, может стать столь большой, что разрушит пары. При конечных температурах в соответствии с теорией Больцмана всегда встречается сколько-то разрушенных пар. Вероятность того, что пара разрушится, пропорциональна ехр(-Eпары/kT). He связанные попарно электроны называются «нормальными» и движутся по кристаллу обычным образом. Я буду, однако, рассматривать только случай истинно нулевой температуры или, во всяком случае, пренебрегу усложнениями, вызываемыми теми электронами, у которых нет пары.
Раз пары электронов—это бозоны, то когда множество их собирается в одном состоянии, амплитуда перехода других пар в то же состояние становится особенно велика. Значит, почти все пары должны скопиться при наинизшей энергии в точности в одинаковом состоянии, сбежать кому-либо из них в другое состояние очень нелегко. У каждой пары амплитуда того, что она перейдет в занятое состояние в Цn раз больше, чем в незанятое (где хорошо известный фактор Цn определяется населенностью n наинизшего состояния). Значит, мы вправе ожидать, что все пары будут двигаться в одном состоянии.
Как же тогда будет выглядеть наша теория? Я обозначу через y волновую функцию пары в наинизшем энергетическом состоянии. Однако из-за того, что yy* окажется пропорциональным плотности заряда r, я с равным правом могу записать y как квадратный корень из плотности заряда, умноженный на некоторый фазовый множитель
где r и q — действительные функции от r. (В таком виде можно, конечно, записать любую комплексную функцию.) Что мы подразумеваем, говоря о плотности заряда,— это ясно, но каков физический смысл фазы 9 волновой функции? Ну что же, давайте поглядим, что получится, если мы подставим y (r) в (19.12) и выразим плотность тока через эти новые переменные r и q. Это простая замена переменных, и, не повторяя всех выкладок, я приведу результат:
Поскольку и плотность тока и плотность заряда имеют для сверхпроводящего электронного газа прямой физический смысл, то и r и q — вполне реальные вещи. Фаза столь же наблюдаема, как и r: это часть плотности тока J. Абсолютная фаза ненаблюдаема, но если градиент фазы известен во всех точках, то фаза известна с точностью до константы. И если вы определите по своему желанию фазу в одной точке, то во всех остальных точках она уже определится сама собой.
Кстати заметим, что уравнение для тока можно проанализировать и изящнее, если представить себе, что плотность тока и впрямь совпадает с произведением плотности заряда на скорость тока электронной жидкости, т. е. что J=rv. Тогда (19.18) равнозначно уравнению
Мы замечаем, что в mv-импульсе есть две части: одна связана с векторным потенциалом, а другая с поведением волновой функции. Иными словами, величина hСq— это как раз то, что мы называли р-импульсом.
§ 6. Явление Мейсснера
Теперь уже можно кое-что рассказать и о явлении сверхпроводимости. Прежде всего здесь отсутствует электрическое сопротивление. А нет сопротивления оттого, что все электроны коллективно пребывают в одинаковом состоянии. При обычном течении тока то один электрон, то другой выбивается из равномерного потока, постепенно разрушая полный импульс. Здесь же не так-то просто помешать одному электрону делать то, что делают другие, ибо все бозе-частицы стремятся попасть в одинаковое состояние. Ток, если уж он пошел, то это навеки.
Легко также понять, что если имеется кусок металла в сверхпроводящем состоянии и вы включите не очень сильное магнитное поле (что будет, когда оно сильное, мы обойдем молчанием), то оно не сможет проникнуть в металл. Если бы в момент создания магнитного поля хоть какая-то его часть возросла внутри металла, то в нем появилась бы скорость изменения потока, а в результате и электрическое поле, которое в свою очередь немедленно вызвало бы электрический ток, который, по закону Ленца, был бы направлен на уменьшение потока. А раз все электроны будут двигаться совместно, то бесконечно малое электрическое поле уже вызовет достаточный ток, чтобы полностью воспротивиться наложению любого магнитного поля. Значит, если вы включите поле после того как охладили металл до сверхпроводящего состояния, внутрь оно допущено ни за что не будет.
Еще интереснее другое связанное с этим явление, экспериментально обнаруженное Мейсснером. Если имеется кусок металла при высокой температуре (т. е. обычный проводник) и в нем вы создали магнитное поле, а затем снизили температуру ниже критического уровня (когда металл становится сверхпроводником), то поле будет вытолкнуто. Иными словами, в сверхпроводнике возникает свой собственный ток, и как раз в таком количестве, чтобы вытолкнуть поле наружу.
Причину этого можно понять из уравнений, и сейчас я объясню как. Пусть у нас имеется сплошной кусок сверхпроводящего материала (без отверстий). Тогда в любом установившемся положении дивергенция тока должна быть равна нулю, потому что ему некуда течь. Удобно будет выбрать дивергенцию А равной нулю. (Конечно, полагалось бы объяснить, отчего принятие этого соглашения не означает потери общности, но я не хочу тратить на это время.) Если взять дивергенцию от уравнения (19.18), то в итоге окажется, что лапласиан от q должен быть равен нулю. Но погодите, а как же с вариацией r? Я забыл упомянуть об одном важном пункте. В металле существует фон положительных зарядов (из-за наличия атомных ионов решетки). Если плотность заряда r однородна, то не будет ни остаточного заряда, ни электрического поля. Если бы в каком-то месте электроны и скопились, то их заряд не был бы нейтрализован и возникло бы сильнейшее отталкивание, которое растолкало бы электроны по всему металлу. Значит, в обычных обстоятельствах плотность электронного заряда в сверхпроводниках почти идеально однородна, и я вправе считать r постоянным. Далее, единственная возможность, чтобы С2q было равно нулю всюду внутри сплошного куска металла,— это постоянство q. А это означает, что в J не входит член с р-импульсом. Согласно выражению (19.18), ток пропорционален r, умноженному на А. Значит в куске сверхпроводящего материала ток с необходимостью будет пропорционален вектор-потенциалу
Знаки r и q одинаковы (отрицательны), и поскольку r — величина постоянная, то я могу положить rq/m =-(некоторая постоянная). Тогда
J=-(некоторая постоянная)А. (19.21)
Это уравнение впервые предложили братья Лондон, чтобы объяснить экспериментальные наблюдения над сверхпроводимостью, задолго до того, как люди уяснили себе квантовомеханическое происхождение эффекта.
Мы теперь можем подставить (19.20) в уравнения электромагнетизма и определить поля. Векторный потенциал связан с плотностью тока уравнением