может быть записана так:
Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |y> (назовем его полным импульсом) равняется
Но это все равно, что написать
Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.
§ 6. Момент количества движения
Для интереса рассмотрим еще одну операцию — операцию орбитального момента количества движения. В гл. 15 мы определили оператор J^z через R^z(j) — оператор поворота на угол j вокруг оси z. Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией y(r), которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз. Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены думать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть различие, обозначим орбитальный оператор L^z и определим его через оператор поворота на бесконечно малый угол e формулой
(напоминаем: это определение применимо только к состоянию |y>, у которого нет внутренних спиновых переменных, а есть только зависимость от координат r: х, у, z). Если мы взглянем на состояние |y> из новой системы координат, повернутой вокруг оси z на небольшой угол e, то увидим новое состояние:
Если мы решили описывать состояние |y> в координатном представлении, т. е. с помощью его волновой функции y (r), то следует ожидать такого равенства:
Что же такое
Фиг. 18.2. Поворот осей вокруг оси z на малый угол e.
Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке Р, не меняется от поворота системы координат, то можно писать
(напоминаем, что e — малый угол). Это означает, что
Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому:
Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим операторам, можно написать
Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знакомую формулу классической механики: это z-компонента векторного произведения
L=rXp. (18.72)
Одна из забавных сторон манипуляций с операторами заключается в том, что многие классические уравнения переносятся в квантовомеханическую форму. А какие нет? Ведь должны же быть такие, которые не получаются, потому что если бы все повторялось, то в квантовой механике не было бы ничего отличного от классической, не было бы новой физики.
Вот вам уравнение, которое отличается. В классической физике
хрх-рxх=0.
А что в квантовой механике?
Подсчитаем это в x-представлении. Чтобы было видно, что мы делаем, приложим это к некоторой волновой функции y(x). Пишем
или
Вспомним теперь, что производные действуют на всё, что справа. Получаем
Ответ не нуль. Вся операция попросту равнозначна умножению на -h/i:
Если бы постоянная Планка была равна нулю, то квантовые и классические результаты стали бы одинаковыми и не пришлось бы нам учить никакой квантовой механики!